VI. Soit enfin l'équation
yi + 3xi -f 2xy — y + x + 2x-f 4=0.
On peut écrire son premier membre ainsi
(* + lr + l)(y+3i + 2)— X + 4-6JS-4I— 3j— 2; en réduisant le polynôme en dehors des parenthèses, il devient
— 6x’ — 8x + 2 ou -|(3x+2)I+ ’^î
et en transformant le produit indiqué par les parenthèses en une différence de carrés, on trouve que l'équation proposée, toutes réductions faites, peut s'écrira
F.lle représente donc un hyperboloide d une nappe.
JSC4. Deuxième méthode. On cherche d’ahord, comme il a été dit au n“ 47 G, si la surface proposée admet un centre unique.
une infinité de centres, ou si elle en est totalement dépourvue. Examinons successivement ces trois cas.
SGS. Surfaces A centre unique. La surface proposée ayant, par hypothèse, un centre unique, on sait déjà (800) qu’elle ne peut être qu’un ellipsoïde réel ou imaginaire, un hyperboloïde à une ou deux nappes, un point ou un cône.
En résolvant l’équation de la surface par rapport à z, on en tire une expression de la forme
z = ma;-}-ny + P — \Jay'-\- bx y -J- ex' -\-dy-\-ex-\-f.
Les coordonnées des points du plan desa:y, sur lesquels se projette la surface, doivent satisfaire à l’inégalité
ay* -f- bxy + ex' + dij -j- ex -j- f> 0 ;
donc, la projection de la surface sur ce plan est limitée par la courbe qui a pour équation
ay,-f6aa/ + ca:,4-di/-j-ea;-f f=0 [1].
Nous regardons comme évident que cette courbe a un centre ou en est dépourvue, selon que la surface dont elle limite la projection a elle-même un centre ou en est dépourvue. Donc, dans le cas des surfaces à centre, cette courbe ne peut jamais être une parabole. Cela posé, il y a trois cas à examiner.
800. 1° La courbe [1] est une ellipse. La projection de la surface étant limitée par une ellipse, ne peut être qu’un ellipsoïde ou un hyperbolbïdc à une nappe : ce sera un ellipsoïde si la surface se projette à l’intérieur de l’ellipse [1], et un hyperboloïde à une nappe si elle se projette à l’extérieur. On reconnaîtra que l’un ou l’autre cas a lieu en cherchant si le z qui correspond aux coordonnées a; et y du centre de l’ellipse est réel ou imaginaire. Si cette valeur de z est réelle, la surface se projettera évidemment dans l’intérieur de l’ellipse et ne pourra être, par conséquent, qu’un ellipsoïde. Si celte valeur de z est imaginaire, la surface se projettera à l’extérieur de l’ellipse et sera un hyperboloïde à une nappe.
Exemples. I. Prenons d'abord l'équation déjà traitée aux n" 343 et 363 savoir : ’
25** + 22i/* +1 6ï’ + 16yï — kxi — 2(tay — 26i — 40y — 44x + 44 =o.
On a reconnu que la surface avait un centre unique.
On tire de l’équation proposée
, jJ-8a.+ 22± \J — 288y* + '>H8ry 396xJ + Ô04J + 288y— 220
ÏÔ
La projection de la surface, sur le plan des xy , est donc limitée par la courbe qui a pour équation
288y> - 28&ry + 396t3 — 504x— 288y — 220=0 [E].
Cette courbe est une ellipse dont le centre a pour coordonnées x= | y = 1 • de plus, le s qui correspond à ces valeurs de x et de y est réel. Donc la surface proposée, se projetant dans l’intérieur de l’ellipse [Ej, est un ellipsoïde.
