II. Soit l'équation

2xJ + 4yJ— ^-Myx— 8xx— 4xy-f 2x— 4y — 22 = 0.

Au moyen du tableau mnémonique

on trouve

La surface a donc un centre unique. On tire de l’équation proposée

*=2(y— îx)±\]îy‘ - 20-ry + 18xJ— 4y + 2i— 22 J

par conséquent la projection de la surface, sur le plan des xy, est limitée par la courbe qui a pour équation

8y’— 20xy + 18**— 4y +2*— 22=0.

Cette courbe est une ellipse , dont le centre a pour coordonnées «=-5-»

ÿ — 22' Tïleur correspondante de x étant imaginaire, on an conclut que la

surface se projette à l’extérieur de l’ellipse et, par suite, que cette surficeest un bypeibololde & une nappe.

Remarque. Si l’ellipse se réduisait à un point, la surface serait un cône ou elle se réduirait à un point. En effet, le radical qui entre dans la valeur de * est alors de la forme

y'mLfc— aO’+Cy-yïJ.

Si m est négatif, on voit que z n’a qu’une valeur réelle, celle qui correspond à x—x1, y = y'..La surface se réduit donc à un point.

Si m est positif, z sera réel pour toutes les valeurs de x et de y, de sorte que la projection de la sut face couvrira tout le plan des xy ; et comme celte surface contient le centre, c’est un cône.

oG7. 2° L'équation [1] représente une hyperbole. Dans ce cas, la surface ne peut être un ellipsoïde; ce ne peut Être qu’un hyperboloïde à une nappe ou à deux nappes. Le premier cas aura lieu évidemment si la projection de la surface contient le centre de l’hyperbole, et le second si elle ne le contient pas. On reconnaîtra encore lequel de ces deux cas a lieu en cherchant si la valeur de z, qui correspond au centre de l’hyperbole, est réelle ou imaginaire.

Exbvpi.es. I. Soit l'équation

« îaS+y’ + J1 + 4yx— 2xx — 2zy + 2y — 3=0.

En appliquant la règle connue, on voit que la surface a un centre. De l’èquation proposée on tire

X=X— 2y± V^!/’ — 2xy — x2 — 2y+3.

La projection de la surface est donc limitée par l’hyperbole 3yJ — "Ixy — x, — 1y + 3.

Les coordonnées du centre de celte hyperbole sont x— — - , !/=£> et la valeur

correspondante de x est réelle. Donc la surface pro[osée est un hyperboloide à une nappe.