II. Soit l’équation
x 1 — 2y, + i’ + 2ry — 4*x + 4y + 4ï — 9=0.
Le lecteur reconnailra sans peine, par un calcul analogue à celui que nous venons de faire, que celte équation représente un hyperboloide à deux nappes.
Remarque. Si l’hyperbole qui limite la projection de la surface se réduisait à deux lignes droites, la surface serait évidemment un cône.
üG8. 3° L’équation [1] représente une courbe imaginaire. Dans ce cas, le premier membre de l’équation [1] est toujours positif ou toujours négatif, quelles que soient les valeurs de x et de y. S’il est positif, la valeur de z, tirée de l’équation proposée, est tou-
jours réelle, et la surface, sc composant de deux nappes séparées par le plan diamétral
z = mx-\-ny -\-p,
est un hyperboloïde à deux nappes. Si le premier membre est toujours négatif, la valeur de z est toujours imaginaire et la surface est elle-même imaginaire.
309. cas particulier. Ce qui précède suppose que l’équation proposée renferme au moins le carré de l’une des variables; car s’il en était autrement, en la résolvant par rapport à l’une quelconque des variables, on obtiendrait une expression dépourvue de radical.
Quoique ce cas particulier ait déjà élé examiné (354 , II) , nous allons le traiter de nouveau, afin de rendre notre second mode de discussion indépendant du premier. Nous nous fonderons sur ce théorème du n° 355, savoir; que l'hypcrboloïde à une nappe contient toujours une parallèle à une génératrice quelconque de son cône asymptote, propriété qui n’appartient pas à l'hypcrboloïde à deux nappes.
Soit
2Bj /z -f- 2B ’xz -j- 2B'x; / -f- 2Ca:+2C'î/ -j- 2C’'z -f- F = 0 [1]
l’équation proposée, qui, par hypothèse, représente une surface à centre. Cette surface ne peut être un ellipsoïde, car pour toute valeur réelle de x et de y, la valeur tirée de l’équation [I] est toujours réelle; donc la projection de la surface recouvre tout le plan des xy, ce qui ne peut convenir à un ellipsoïde. La surface proposée ne peut donc être qu’un hyperboloïde à une nappe ou à deux nappes, ou un cône. Pour distinguer le genre de la surface, je transporte l’origine au centre. L’équation proposée prend la forme
Bi/z -(- B'xz -f- Wxy = T.
SiT=0, l’équation, étant homogène, représentera un cône. Si T est différent de zéro, la surface sera un hyperboloïde dont le cône asymptote aura pour équation
Bi/z -(- B'xz -j- B "xy = 0.
L'axe des z étant évidemment une génératrice de ce cône, la surface devra contenir une parallèle à l'axe des z, si c’est un hyperboloïde à une nappe. Or, si l’on fait
dans l’équation réduite, on aura
(Bp-fB'a)3-t-B"«p = T,
équation qui ne peut être satisfaite, quel que soit z, que si l’on a en même temps
Bp-fB'a=0 et ap=jp,
Celte valeur de a est réelle ou imaginaire, suivant que est de
signe contraire à T ou de même signe. Donc, dans le premier cas, la surface sera un hyperboloïde à une nappe, et dans le second, un hyperboloïde à deux nappes.
870. .Surfaces qui admettent une infinité de rentres. Ce Cas I1C
peut offrir aucune difficulté. Si les équations qui donnent le centre se réduisent à deux équations distinctes, la surface est un cylindre. Si elles se réduisent à une seule, la surface est composée de l’ensemble de deux plans parallèles.
La section faite par un des plans coordonnés apprendra si la surface est un cylindre elliptique ou hyperbolique, ou bien si elle est imaginaire.
871, Surfaces dépourvues décentré. Ce troisième cas n’oflre pas non plus de difficulté. On sait d’abord (815) que la surface ne peut être qu’un paraboloïde elliptique , un paraboloïde hyperbolique ou un cylindre parabolique , et la nature des sections faites par les trois plans coordonnés apprendra le genre de la surface.
En effet, si parmi ces trois sections il y a des ellipses, la surface sera un paraboloïde elliptique; car le paraboloïde hyperbolique
cl le cylindre parabolique n’admettent pas de sections elliptiques
Si parmi ces sections il y a une hyperbole, la surface sera un paraboloïde hyperbolique; car le paraboloïde elliptique et le cylindre parabolique n’admettent pas de sections hyperboliques (811).
Enfin, si les trois sections sont des paraboles, la surface sera un cylindre parabolique; car les paraboloïdes ne peuvent être coupés suivant des paraboles, que par des (dans parallèles à leur axe.
Exemples. I. Soit l’équation déjà traitée au n“ SIS, VI, savoir :
5i» + 5y» + RiM- 4xy + kix — Bxy + 6x + 6y - 3ï= 0.
Nous avons vu que la surface représentée par cette équation est dépourvue de centre. Or, si l’on fait X= 0, on trouve
5jc!— &ry 4 Sy’ + 6t/+56=0;
cette équation représente une ellipse; la surface proposée est donc un paraboloide elliptique, ainsi que nous l'avions reconnu par la première méthode.
