CHAPITRE IX

PI.AN8 TANGENTS

875. Si, par un point donné sur une surface, on fait passer autant de courbes qu’on voudra, tracées sur cette surface, et qu’on leur mène des tangentes au point considéré, toutes ces tangentes sont, en général, situées dans un même plan. On démontre cette proposition géométriquement dans le cours de Géométrie descriptive; mais elle peut aussi être établie par des considérations analytiques.

Soit M le point considéré, x, y, z ses coordonnées, et f{x, y, z) = 0 [1] l’équation de la surface. Dans cette équation, l’une des quantités x, y ou z, la dernière par exemple, peut être regardée comme une fonction des deux autres, considérées alors comme deux variables indépendantes. Mais si l’on trace, par le point M, une courbe sur la surface, et que x, y, z désignent les coordonnées d’un point de celte courbe, deux quelconques de ces coordonnées, x et y par exemple, deviennent des fonctions de la troisième. Soient y -j-&, s + f les coordonnées d'un

point M' pris sur cette courbe dans le voisinage du point M; les équations de la sécante MM' seront, en désignant par X, Y, Z les coordonnées courantes,

et Y — y = j(Z — z) [2].

Si le point M'se rapproche indéfiniment du point M, la sécante MM’ aura pour limite la tangente en M à la courbe considérée; et, en posant

et

lim. j — x' lim. j — y'

PLANS TANGENTS

les équatious de cette tangente pourront s’écrire X — x = x' (Z — z)

et Y — y = y'(Y—z) [3].

D’un autre côté, on a vu en Algèbre, que si dans f{x, y , z) on regarde x et y comme des fonctions d es, la dérivée de celte fonction par rapport à z est

et si la fonction est constamment nulle, comme l’exprime l’équation de la surface, il faut que sa dérivée soit aussi constamment nulle, et qu’on ait

x'rj+y'r;+r;=o w.

Si l’on remplace, dans cette relation, af et ÿ par leurs valeurs tirées des équations [3], et qu’on chasse le dénominateur, on obtient

équation d’un plan passant par le point M.

Ce plan, qui contient toutes les tangentes menées par un môme point d’une surface à toutes les courbes qu’on peut tracer par ce point sur celte surface, est ce qu’on appelle le plan langent au point considéré, lequel prend le nom de point de contact ou de tangence.

874. Nous avons dit que le lieu de ces tangentes était en général un plan. C’est qu’en effet la démonstration précédente serait en défaut si les dérivées fj, fy', f,' s’annulaient en même temps, auquel cas l’équation [4] serait satisfaite d’elle-môme. Cela a lieu pour un cône du second degré lorsque le point considéré est le sommet, parce que ce point est en môme temps le centre de la surface; cela a lieu plus généralement pour les points singuliers analogues et auxquels on donne le nom de points saillants. Si, par exemple, on fait tourner autour de son axe la développée d’une parabole, on obtient une surface qui a un point saillant au sommet de la développée. Le lieu des tangentes en un point saillant GÉOM. ANAL. 35

n’est pins un plan, mais une surface conique d’un degré plus ou moins élevé, qu’on détermine par des méthodes dont le détail ne saurait trouver place ici.

57iî. Il peut arriver que le plan tangent en un point d’une surface n’ait qu’un point commun avec la surface, le point de conlact; c’est ce qui a lieu pour l’ellipsoïde et pour un grand nombre de surfaces fermées. Mais il peut arriver aussi que le plan tangent en un point d’une surface, soit en même temps sécant; cl il peut être sécant au point de contact même; c’est ce qui a lieu, comme on va le voir, pour l’hyperboloïde à une nappe et pour le paraboloïde hyperbolique.

Lorsqu’une surface a des génératrices rectilignes, le plan tangent en un point d’une génératrice la contient tout entière, attendu qu’elle est elle-même sa propre tangente au point considéré. Mais le plan tangent n’est pas, en général, le même, aux différents points d’une même génératrice; à mesure que lepoinl de contact se déplace sur celte droite, le plan tangent tourne autour d’elle sans cesser de la contenir. Si deux génératrices rectilignes passent en un même point d’une surface, elles déterminent un plan qui n'est autre que le plan tangent. Ce plan est donc à la fois tangent et sécant.

570. Comme deux droites qui se coupent suffisent pour déterminer un plan, on obtient en général le plan tangent en un point d'une surface en menant par ce point les tangentes à deux courbes tracées par ce point sur la surface, et en faisant passer un plan par ces deux tangentes. S’il s’agit d’une surface de révolution, on choisit ordinairement la tangente au parallèle et la tangente au méridien.

On peut remarquer que, dans une surface de révolution, le plan tangent est perpendiculaire au méridien, puisqu'il contient la tangente au parallèle, laquelle est perpendiculaire à ce méridien.

577. On appelle normale la perpendiculaire au plan tangent menée par le point de contact. Ses équations s'obtiennent aisé-

PLANS TANGENTS. 547

ment ; une droite quelconque passant par le point de tangence est représentée par

et Y — y — n (Z — z).

Si cette droite est perpendiculaire au plan tangent, on doit avoir les coordonnées étant supposées rectangulaires,

et

en sorte que la normale a pour équations

X — x = jy[Z — s) Y -y=rfi{Z-z)

ou

Tout plan mené suivant la normale prend le nom de plan normal 578. Appliquons ces notions à la sphère, dont l’équation est <É* + V’ + ** =

on a dans ce cas :

L’équation du plan tangent est donc, en supprimant le facteur 2, (X -*)* +(Y - y)y + (Z-z)z = o du, en vertu de l’équation de la sphère,

Xx+Yt/ + Zd = R« [7],

Les équations de la normale sont :

ou

et

équations d’une droite menée de l’origine au point de contact. On

en conclut que la normale passe par le centre, et que le plan tangent est perpendiculaire à l'extrémité du rayon qui aboutit au point de contact.