Lorsqu’on se propose de mener un plan tangent à l’el

PLANS TANGENTS

lipsoïde par un point donné sur la surface, l’équation [9] résout le problème, et l’on voit qu’il est toujours possible.

Si l’on veut mener le plan tangent par un point extérieur à la surface, il est aisé de voir que le problème est indéterminé; mais le lieu des points de contact est f intersection de la surface par un plan parallèle au plan diamétral conjugué au diamètre dont le prolongement passe par le point extérieur donné. Rapportons, en effet, la surface à un système de diamètres conjugués dont l'un, l’axe des x par exemple, passe par le point donné; et soit a l’abscisse de ce point. L’équation [9] du plan tangent devra être satisfaite par X = a, Y = 0, Z = 0, ce qui exige qu’on ait

Le lieu des points de contact est donc l’intersection de la surface par un plan mené parallèlement au plan des yz, lequel est conjugué à l’axe des x, ce qui démontre la proposition.

Le problème est encore indéterminé quand on se propose de mener un plan tangent parallèle à une droite donnée; mais alors le lieu des points de contact est C intersection de la surface par le plan diamétral conjugué à la direction de la droite donnée. En effet, si l’on rapporte la surface à un système de diamètres conjugués dont l’un, l’axe des x par exemple, soit parallèle à la droite donnée, le plan tangent devant être parallèle à l’axe des x, son équation ne doit pas contenir de terme en X, ce qui exige qu’on ait x = 0. Le lieu des points de contact est donc l’intersection de la surface par le plan des yz, ce qui démontre la proposition.

R82. Pour avoir une solution déterminée du problème, on peut se proposer de mener un plan tangent parallèle à un plan donné, ou passant par une droite donnée.

Dans le premier cas, si

Ax -{- By + Cz = 0

st l'équation du plan donné, on devra avoir

JL— JL-

Aa* B6* Ce* ’

ces deux équations, jointes h l’équation de la surface, détermineront les coordonnées du point de contact. Le problème sera toujours possible ; et il y aura deux solutions.

Dans le second cas, si

x=*z -\-p et i/ = pz-j-g

sont les équations de la droite donnée, on devra avoir, pour que la droite soit dans le plan tangent,

!*+Ëÿ+î = 0 et +

ei o* + b * U’

ces deux équations, jointes à l’équation de la surface, détermineront encore les coordonnées du point de contact. Mais ce problème ne sera possible qu’autant que la droite donnée ne traverse pas la surface. Il y aura deux solutions si la droite est extérieure à la surface; il n’y en aura qu’une si elle lui est tangente.

885. On traiterait de la même manière les questions qui concernent le plan tangent à l’hyperbololde, soit à une nappe, soit à deux nappes. Dans le cas de l’hyperbôloïde à une nappe, le plan tangent étant parallèle au plan diamétral conjugué au diamètre qui aboutit au point de contact, est en même temps tangent et sécant ; car on sait que ce plan coupe la surface suivant deux droites.

Réciproquement : tout plan mené par deux génératrices appartenant à des systèmes différents est un plan tangent au point de la surface où ces deux génératrices se rencontrent. Le plan de deux génératrices parallèles, appartenant, comme on sait, à des systèmes différents, est un plan tangent dont le point de contact est situé à l’infini.

On reconnaîtra que le plan tangent à un hyperboloïde ne peut pas prendre toutes les directions dans l'espace; ses positions limites répondent à celles des plans tangents au cône asymptote ; c’est-à-dire que, pour qu’on puisse mener un plan tangent àl’hyperboloïde parallèlement à un plan donné, il faut qu’un plan parallèle à celui-ci, et mené par le centre, coupe le cône asymptote, ou lui soit tangent. Dans ce dernier cas, le plan tangent ne tou-

PLANS TANGENTS

die la surface qu’à l’infini, et il est commun à la surface et au cône asymptote.

884. En opérant comme plus haut, on trouvera que l’équation du plan tangent au paraboloide elliptique

En changeant q en — q on obtient l’équation du plan tangent au paraboloide hyperbolique.

On sait que si l’on prend pour origine un point quelconque de la surface, et pour axe des x le diamètre passant par ce point, on peut, dans le plan conjugué à ce diamètre, ehoisir une infinité de systèmes de deux autres axes, de manière que l’équation de la surface conserve la forme [10], Si l’on cherche le plan tangent à l’origine, on voit qu’en faisant x=0, y—0, z= 0 dans l’équation [11], il reste X = 0, c’est-à-dire que le plan tangent est le plan des yz. Ainsi la direction du plan tangent en un point d’unparabolo'ide est conjuguée au diamètre passant par ce point, c’est-à-dire que ce plan est parallèle aux sections par les centres desquelles passe le diamètre considéré.

Dans le cas du paraboloide hyperbolique, il est aisé de voir que le plan tangent, qui est pris pour plan des yz, est en même temps sécant; car si l’on fait x — 0 dans l'équation de la surfuce, pour trouver son intersection avec le plan tangent, il vient

équations de deux droites..

888. Comme application des notions relatives aux plans tangents et aux normales, on pourra traiter les questions suivantes:

I. Quel est , sur une surface du second degré, te lieu des points où la normale est parallèle à un plan donné?

II. ÏYourer le lieu des sommets d'un angle triidre trirectangle dont les face restent tangentes à un ellipsoïde ou d un hyperboloïde.

III. Lieu des point s d'un hyperboloide dune nappe , où passent deux génératrices rectilignes perpendiculaires entre elles (ramené à la question précédente).

IV. Par deux droites données, non situées dans un même plan, on fait passer un paraboloide hyperbolique auquel on mène un plan tangent parallèle à un plan donné; on demande le lieu du point de contact.

V. Lieu des normales d un hyperboloide à une nappe ou à un paraboloide elliptique, menées par les différents points d’une même génératrice rectiligne.