Équation d’une droite qui passe par deux points donnes

Soient (x',y’) et (x”, y *) les deux points donnés.

La droite devant passer par le premier point, son équation sera de la forme (69), " '

GÉOM. ANAL. 5

Mais les coordonnées du second point doivent satisfaire à cette équation ; donc

d’où, en éliminant a par division,

Si, par exemple, les deux points ont pour coordonnées ar'= 1, j/’ = — 2 et x"= — 2, i/ = — 4, on aura

pour l’équation de la droite qui passe par ces deux points.

Remarques. I. Le coefficient angulaire de la droite représentée

par l’équation [7] est égal à c’est-à-dire au quotient de la

différence des ordonnées des deux points donnés, divisée par la différence des abscisses de ces mêmes points.

II. Si les deux points ont pour coordonnées x'=p, y'=o et x" = o, y" = q, on trouve

d’où = I ,

et l’on retombe ainsi sur l’équation [5] du n" 68.

III. Si l’un des points est l’origine des coordonnées, et que l’on ait, par exemple, x" = 0 , y" = 0, on obtient

y—y'x—tf.

d’où yx'X C81>

équation d’une droite menée de l’origine au point dont les coordonnées sont x1 et y'.

IV. Si les coordonnées des deux points sont égales et de signe contraire, en sorte qu’on ait x"=— x' et y"= — y', il vient

ce qui montre que la droite passe alors par l’origine (02).

71. Autre forme de l'équation de la droite. Enfin, l’équation d’une droite peut encore être mise sous une forme qu’il est

bon de connaître, quoiqu’elle soit d'un usage moins fréquent que les précédentes.

Soit AB (fig. 35) la droite dont il s’agit. Abaissons de l’origine 0 sur celle droite, la perpendiculaire OD=p; et soient * et p les angles que fait cette

perpendiculaire avec OX et avec OY.

Si on mène MP = y, qu’on fasse Fig js. ' OP=x, et qu’on projette la ligne

polygonale OPMD sur OD, on aura

æcosu+î/cos p = p [9].

Dans le cas où les axes sont rectangulaires, p et « sont complémentaires : on peut donc écrire

. xcosa-f ysina=p [10].

$ 2. PROBLÈMES SCR LA LIGNE DrOlTE.

72. Problème I. Trouver T intersection de deux droites données par leurs équations.

Soient y=ax-\-b et y=a'x-\-b'

les équations des deux droites données. Le problème géométrique consiste à déterminer le point dont les coordonnées satisfont à ces deux équations; et le problème algébrique consiste à calculer ces coordonnées. Si donc on suppose que x et y , au lieu de repré-

senter dans chaque équation les coordonnées d’un point quelconque de la droite correspondante, représentent les coordonnées du point commun, le problème algébrique reviendra à calculer les valeurs de x et de y qui satisfont à la fois aux deux équations.

On trouve :

ab' — a'b a — a' ’

pour les coordonnées du point d'intersection.

Exemple. Soient les deux droites

y==2x-{-l et y = — 3x-|-ll.

un trouvera pour les coordonnées de leur point d’intersection :

Remarques. I. Pour que le problème soit possible , il faut et il suffit que ces valeurs soient finies. Pour cela, il faut que a diffère de a’.

II. Si a était égal à a', les droites données seraient parallèles (68), et ne pourraient se rencontrer ; aussi le calcul donne-t-il , dans ce cas, des valeurs infinies pour les coordonnées du point d’intersection.

III. Si l’on avait à la fois a=a' et b=b\ les valeurs de x et de y prendraient la forme g; et, en effet, les deux droites, dans ce cas, coïncideraient, et la position du point commun serait indéterminée.

73. Problème II. Trouver l’ équation générale des droites qui vont concourir avec deux droites données par leurs équations.

Soient y — ax — b= 0 et y — a'x — 6' = 0

les équations des deux droites données.

Multiplions la seconde par un coefficient indéterminé m, et retranchons-la de la première, nous aurons

(y — ax— b)— m(y — a'x— 6'J=0 [1].

PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE

Cette équation est du premier degré en x et y; elle représente donc une droite. D’un autre côté, les valeurs de x et y, qui vérifient à la fois les deux équations proposées, annulent les deux parenthèses , et satisfont par conséquent à l’équation [1] : c’est-àdire que le point communaux deux droites données est situé sur la droite représentée par l’équation [1]. Cette équation représente donc une droite qui va concourir avec les deux droites données ; d’ailleurs sa direction reste indéterminée, puisqu’on peut disposer du coefficient m. L’équation [1] est donc l’équation demandée.

Remarques. 1. Plus généralement, soient f(x,y) — 0 et <j.(x,y) = 0

les équations de deux courbes quelconques ; l’équation f{x, y) + m?(x, y) — 0

représente une courbe qui passe par tous les points d’intersection des deux courbes proposées.

II. Les coefficients de l’équation [1] sont des fonctions linéaires de m. Quand une équation du premier degré à deux variables a pour coefficients des fonctions linéaires d’un même paramètre, les droites représentées par celte équation concourent en un môme point. En effet, une telle équation étant de la forme

(am + a')y + c'=0 [2],

si nous ordonnons par rapport à m, il vient

(ay-\-bx-\-c)m-\- a'y-\-b'x-{-c' = 0;

et, sous cette forme, nous voyons qu’elle est vérifiée, quelle que soit la valeur de m, si l’on a

ay + bx + c = 0 , a!y-\-b'x-\-c' = 0.

Donc si x=a et y=p vérifient ces équations, les droites représentées par l’équation [2] passeront toutes par le. point (<*, p).

III. On peut disposer de m de manière que la droite [1] ait une direction déterminée ou qu’elle passe par un point donné.

Dans le premier cas , on remarquera que le coefficient angulaire de la droite [l] est

a — ma'

Si donc a" est le coefficient angulaire d’une droite ayant la direction donnée , on devra avoir

a — ma' 1 — m

dou m = —, — a — o

Dans le second cas, si x' et y' sont les coordonnées du point donné, ces coordonnées devront satisfaire à l’équation [1], et l’on aura

(»/' — ax' — b) — m (y' — a'x' — b') = 0; d’où m = -r : r-

t y' — ax —b

Exemple. Supposons que les droites données aient pour équation y = 2r+ 1 et y = — 3x + ll,

et qu’on demande l'équation d’une droite concourant avec les droites données, et parallèle à la droite y =x, on devra prendre

en sorte que l’équation [1] deviendra

(y— 1z— l)-H(y + 3j;— 11) = 0 ou y=x + 3.

Si l'on veut, au contraire, l’équation d'une droite concourant avec les deux premières et passant psr le point dont les coordonnés sont x’=3 et y’=0, on devra prendre

et l'équation [1] deviendra

(y — îx— I)— i (y -f-3* — 11J=0 ou y=— bx + li.

IV. L’équation [1] fournit très-facilement la condition pour que. trois droites concourent. Soient, en effet,

y z=ax-\- b, y = a'x -f b' , i/ = a"x-f 6",

les équations des trois droites. L’équation [l] étant l’équation

PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE

générale des droites qui concourent avec les deux premières, il faudra que l'équation de la troisième puisse s’identifier avec l'équation [1], Or on tire de l'équation [1]

a — ma' 1 — m

b — mb'

Il faudra donc qu’on ait

a — ma' 1 — m

fr — mb' , „

cl l'on obtiendra la condition cherchée en éliminant m entre ces deux relations; ce qui donne

relation facile à retenir.

Par exemple, les droites qui ont pour équations

y = 2jr+l, y —x + 3, y = — 5*+15, concourent ; car on a

74. Problème III. Trouver l'angle de deux droites données par leurs équations.

Soient y=ax + b et f/=a'x+6'

les équations des deux droites données. Menons-leur des parallèles par l’origine ; elles auront pour équations

y=ax et y = a'x.

Elles feront avec l’axe des x les mêmes angles <* et «’ que les droites proposées. Remarquons sur-le-champ qu’il sera toujours facile de reconnaître, à l’inspection seule des équations y —ax et y=a'x, lequel des deux angles a ou a' est le plus grand. En effet, on en tire

et, pour une môme valeur positive de y, celle de ces expressions qui sera algébriquement la plus petite correspondra à celle des deux droites qui fait avec la partie positive de l’axe des x, et audessus, le plus grand angle. 11 suffira donc de voir quelle est

celle des deux quantités ^ ou qui est algébriquement plus

petite.

Pour fixer les idées, supposons a plus grand que a'. Soit V l’angle des droites y=ax et y = a'x, lequel est le même que celui des deux droites proposées, on aura

mais on a (6G)

tang a

a sin 0 1 -)- « cos 0 ’

D’ailleurs ,

tang V

tang a =

a' sin 9 1 + a' cos 6 ’

tang (* — a') =

tang» — tang a'

1 + tang a . tang a'

mettant pour tang a et tang a' leurs valeurs , et réduisant , on obtient

tang V = /a~?sin0 T

8 1 + (a + a') cos 8 4- oa'

Dans le cas où les axes sont rectangulaires, on a' 8= 90°, et, par suite,

tang Y =

1 4-aa'

Exemples. I. Supposons, par exemple, que les équations de deux droites, rapportées à des axes faisant entre eux un angle de 60* , soient

V=— 3* + 5 et y—ïi+ 1.

On reconnaît, en appliquant la règle donnée plus haut, que la première des

PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE. 73

deux droites est celle qui fait le plus grand angle avec la partie positive de l’aie des x, et au-dessus de cet axe. On aura donc

tang V=

(— 3— 2)iV3 f)\/3 •

d'où

log tang V=10 + log ^ = 9,8961379

et V=38«12'47",5.

II. Supposons, en second lieu, que deux droites aient pour équations en coordonnées rectangulaires

S— J*-} et y=— fï+*.

La seconde est celle qui fait, avec la partie positive de l’axe des x, et au dessus, le plus grand angle; on aura donc

tang V =

d’où - log tang V = 10 + log^ = 10, 4522977

et V=70‘33'2â",7.

Remarque. On aura l’équation de la bissectrice de l’angle des deux droites en déterminant m de manière que la droite [1] fasse des angles égaux avec chacune de ces droites.

76. Condition pour qne deux droites soient perpendiculaires. La condition nécessaire pour que deux droites soient perpendiculaires entre elles se déduit facilement de l’expression de tang Y.

En effet, pour que l’angle V soit droit, il faut que sa tangente soit infinie, ce qui exige, ou que le dénominateur soit nul, et qu’on ait

1 + (a H- °) cos 8 aa' — o t3].

ou que le numérateur soit infini, le dénominateur ne l’étant pas. Il faudrait pour cela que a ou a' fussent infinis; supposons que ce soit a' , ce qui revient à supposer que la seconde droite soit

parallèle à l'axe des y. Divisons les deux .termes de l’expression de tang V par a’; et faisons ensuite a' — <x> ; nous trouverons

tangV =

— sinQ cos6+a’

expression qui ne peut être infinie que pour a = — cos6. Or les valeurs simultanées a' = ® et a = — eosO satisfont à la relation [3] comme on le voit en divisant préalablement par a' ; cette relation exprime donc la condition nécessaire et suffisante pour que les deux droites soient perpendiculaires entre elles.

(On ne saurait avoir à la fois a = co et a' = œ , car alors les droites seraient parallèles à l’axe des y et ne pourraient être perpendiculaires entre elles.)

Dans le cas où les axes sont rectangulaires, cosO est nul, et la condition de perpendicularité se réduit à