f- a cos
a -J- cos ô
a+cosfl
Pour trouver sa longueur, il faut d’abord déterminer les coordonnées du point où elle rencontre la droite donnée, et pour cela trouver les valeurs de a: et de y communes à l'équation [5] et à
PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE
l’équation y=ax-\-b. On y parvient facilement en mettant d'abord cette dernière sous la forme
y— y' =a(x—x') — (y'—ax’ — b).
De cette équation et de l’équation [5] on tire alors
, (y'— eue’ — fc)(g + cosO) a*-)- 2a cos ô-f- 1 ’
.. (y1 — ax'— 6)(l-f a cos 6)
y J~ a*-t-2acos6+l
Mais si P désigne la longueur de la perpendiculaire, ou la distance des deux points x, y et x', y', on a (7)
P* = (a; —x'f + (y — y')* + 2(x — æ)(y — y) cos 8.
Remplaçant x—x' et y — y' par leurs valeurs et réduisant, on trouve
p, (y' — ax' — b y sin» 8 a, + 2acos8-|- 1 ’
d’où
p± (;/' — ax? — b) sin 8 y'a’-l-Sacose-l- 1
Cas particuliers. Si la droite donnée est l’axe des x, on trouve, en faisant a = o et b — o,
P = ±y' sine.
Si la droite donnée est l’axe des y, en divisant les deux termes par a et faisant ensuite a= w> et b= o, on trouve
P = dtæ' sine.
Dans le cas où les axes sont rectangulaires, l’équation de la perpendiculaire devient :
et l’expression de sa longueur se réduit à P ±y'-ax'-b v/a*+l
Lorsque l'équation de la droite est de la forme
Ax -|- By -J- G = 0,
on a
(Aæ'-f- B'y4- C) sine qu p± Aa'+By'+C vA’+aABcosô-t-B* y'Â^+B* *
suivant que les axes sont obliques ou rectangulaires.
Remarques. I. La valeur de P devant être essentiellement positive, on adoptera le signe -f- ou le signe —, suivant que la valeur affectée de ce signe sera positive ou négative.
II. La quantité y' — ax' — b qui est au numérateur de P n’est autre chose que le premier membre de l’équation de la droite mise sous la forme
y — ax — b = o,
dans lequel on a remplacé a; et y par les coordonnées du point donné. Il en résulte que, si le point donné est sur la droite, l’expression de P se réduit à zéro , ce qui doit être.
III. Soit AB (fig. 36) la droite donnée et M le point donné; menons MP parallèle à OY, et qui coupe en N la droite AB.
On a x' = OP ; par suite NP=ax’-f-è. Par conséquent,
y' — ax' — b = MP — NP.
On voit que cette quantité sera positive si le point M est au-dessus de la droite donnée, et négative si le point M est audessous de la droite. On peut vérifier que la même conclusion subsiste dans toutes les positions de la droite et du point.
IV. La formule [1] peut s’obtenir géométriquement. Dans le triangle rectangle MNH (Gg. 36) on a
MH ou P=MN sinMNH;
or
PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE
MN = MP — XP — y' — ax' — b,
tang MXH :
sin (
a-j- cos 6’
d’où sin MXH =
: sin 0
v'a’-j-aacosO-j- l’
et, par suite,
±(y’ — ax’ — b) sin 9 ^1 2a cos 8
Exemple. Soit proposé de mener, par le point dont les coordonnées sont x= 1 et y = 5, par rapport & des axes rectangulaires, une perpendiculaire à la droite qui a pour équation
y = -îx-î,
et d’en déterminer la longueur.
On trouvera pour l'équation de la perpendiculaire :
et pour l’expression de sa longueur :
77. Problème V. Étant données les équations de deux droites, trouver les équations des bissectrices des angles formés par ces droites.
Soient y=ax-±-b et y=a'x-\-b'
les équations des droites données. Si l’on désigne par X et Y les coordonnées d’un point quelconque de l’une des bissectrices, on aura pour l’expression de ses distances à chacune de ces deux droites (70)
„ . (Y — aX — b) sin 8 . ™ , (Y — a’X — 6') sin 8
P = ± , .. - - et F = ± .
v/a’-|-2a cos 8 + 1 Va’+ 2a’ cose + l
Or, d’après la propriété caractéristique des bissectrices , ces distances doivent être égales. On aura donc, si l’on prend les deux distances avec le même signe ,
Y-qX-fr .. Y -aX-lé n [9] 2acos8-f- 1 v'a'*-(-2a'cos8-f-l
cl, si on les prend avec un signe contraire,
v'ô’+ïa cos 6 -}- I a' + 2a' cos 6 -f- 1
Telles sont les équations des deux bissectrices.
On ariverait aux mêmes résultats en partant de l’équation générale des droites qui concourent avec les droites proposées, savoir :
( y — ax — b) — m (y — a'x — b’) = o
et en déterminant m de manière qu’elle fasse des angles égaux avec chacune de ces droites.
En posant , pour abréger , -f 2a cos 6 -f- 1 = R et ^0'*+ 2a' cos 9 4-1 = R', et remplaçant les grandes lettres X et Y par de petites, x et y, ces équations peuvent être mises sous la forme
«R' — oR R — R X
, bK — i>’R ^ R— R
et y =
nR’ -fa’R 1Y 4- R
bK 4- fc’R R ’ 4- R
Exemple. Soient, par exemple,
y — — î* + l et y — — 2
les équations des deux droites en coordonnées rectangulaires, auquel cas R = ^a‘+ 1 et R'= Va,1+ 1 1 on »ura
« = s, Ii = {, a'=f, 6 = ), 6'= — 2,
et, par suite, on trouTera pour les équations des deux bissectrices : y = 8x — ¥ et <J = — \x— R.
Remarques. I. On peut vérifier sur les équations [11] que les bissectrices qu’eljes représentent sont perpendiculaires entre elles: en appliquant, en effet, la règle donnée au n° 76, on trouve :
, , faK — a'R ~t~\ R' -R
aR'-f-o’R R' 4- R
\ /aR'-a'R
R’*(l 4-2a cos 6 4-a’)— R,(l4-2(ir cos 9 4- a’*) R’R’— R*R’>
la condition de perpendicularité est donc satisfaite.
PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE. 79
II. Si les droites données sont les axes coordonnés eux-mêmes, il faut dans les équations [9] et [10] faire a = <x> , b = o, a' = o, b' — o (en ayant soin de diviser préalablement par a les deux t ermes de la fraction où entre cette lettre). On trouve ainsi pour les équations des deux bissectrices
— X— Y=0 et — X + Y = 0,
.ou y= — x et i/ = -f-x,
équations qui auraient pu être obtenues directement. La seconde représente la bissectrice de l’angle YOX et de son opposé ; la première représente la bissectrice de l’angle YOX' et de son opposé.
70. Une équation du m,I,c degré à une seule inconnue représente m droites parallèles, réelles ou imaginaires.
Soit f[x) = o une équation du degré ni, et soient a, b, c..., I, ses m racines. On sait que cette équation équivaut aux m équations
lesquelles représentent m droites , réelles ou imaginaires, parallèles à l’axe des y.
71». I ne équation homogène f(x,y ) = o du m"“ degré représente un faisceau de rn droites réelles ou imaginaires, passant par l'origine.
En effet, l’équation proposée étant homogène et du degré m, prendra la forme
si l’on divise ses deux membres par xm. En la résolvant par rapport à -, on a m valeurs réelles ou imaginaires a, b, c..., et on pourrait remplacer la proposée par les équations y = ox, y = bx, y — ex,
qui représentent m droites, passant par l’origine.
Exercice. I. Trouver les équations de* deux droites représentées par l’équation homogène du second degré A y3 + Bxy + Cx3=0. Exprimer les conditions pour qu’elles soient réelles. Trouver l’angle de ces deux droites et la condition pour qu’elles soient perpendiculaires. Trouver les équations des bissectrices des angles formés par ces deux droites.
S 3. applications.
X0 Kxrmplr* de théorèmes de Géométrie démontré» par le raleul. I. Théorème. Us médianes AH, DI, CO d’un triangle quelconque ABC
(fig. 37) concourent en un même point.
it
1 Prenons pour axe* le côté AB et la mêle diane CO; il faut démontrer que les deux
/ \ \ autres médianes coupent l’axe des y en un
/ \ même point. '
ii/ \t
/ Soient OA = OB = m et CO = h.
Les coordonnées du point H, milieu de
ii o a x BC, seront x — — et y = {h\ celles
du point A sont d'ailleurs x—m et y=0.
1 L'équation de la droite AH qui passe par
Fig. 37. ces deux points est donc (71)
m-f- Jm’
d’ou y = jj^(m— x).
Les coordonnées du point I, milieu de AC, sont r=|m et ij={h; celles du point B sont d’ailleurs x= — m et y=0. L’équation de BI est donc
d'où y = — (m + x).
Si, dans ces deux équations, on fait x=0, on trouve y=ÿ. Les deux médianes AH et BI coupent donc la médiane OC en un même point K ; et ce point est au tiers de OC à partir du point O.
II. Théorème. Us perpendiculaires AP, BQ, CO (fig. 38) abaissées des sommets
d'un triangle ABC sur les côtés opposés con- ’ courent en un même point.
j S. g Prenons pour axe le côté AB et la perpen-
/ /s. diculaireCO. Il faut démontrer, comme ci-
rL / 'V dessus, que les deux droites AP et BQ cou-
/ x pent l’axe des y au même point, ou qu'elles
/ ont la même ordonnée à l'origine.
— " j- Soient OA=m, OB— n , CO=A.
L'équation de la droite BC est (70) y x , h , .
l~n=l ou y=-„x+h-
APPLICATIONS
L’équation de AP, qui lui est perpendiculaire et qui passe par le point A, dont les coordonnées sontx=m et y=0, sera donc (89, 75)
L’équation de la droite AC sera de même
fi + S=1 ou V=-^*+h
L’équation de BQ , qui lui est perpendiculaire et qui passe par le point B dont les
coordonnées sont x=-n et y =0, sera donc po ni u , dont les
onwe8 éqUa‘i0nS fl) “ W‘ 0" fait 1=0 P°ur M0ir donnée à l’origine,
mn
Les perpendiculaires AP et BQ coupent donc la perpendiculaire OC en »n mam.
.Ti°r&X’br '* ™
au triangle BQ A, qui est lui-même semblable à COA ; on a donc
