AH + BI + CO
Étant donner trois droites concourantes OX, OY, OZ (fig. 39), si l'on mène à l’une d'elles une parallèle AB , et qu'on prenne IB=IA, toute droite BOOM menée parle point ü ainsi obtenu , seradivisée harmoniquement oui points C et D , c’est-à-dire qu’on aura la proportion
BC BM
DC~ DM'
81. Exemple» dp lieux géométriques. I. Trouver le lieu des points tels , que-la différence entre les distances de chacun d'eux à deux droites fixes soit une quantité constante.
Prenons les droites fixes pour axes ; soit 6 l’anjle qu’elles font entre elles. Les distances du point ( x,y ) & l'axe des x et à l'axe des y seront respectivement (76)
P=ysinO et P'xrxsinè.
Par conséquent, en appelant C la constante donnée , on aura
usiné — xsinû = C ou u=xH -,
siné'
équation d’une droite parallèle & la bissectrice de l’angle YOX.
II. Étant données deux droites fixes OX et OY (fig. 40) , et un point fixe P dans le plan de ces droites, on mène par ce point deux sécantes quelconques PAC, PDB; on joint AD et CB; on demande le lieu du point I otl les droites de jonction se rencontrent. •
Prenons pour axes les droites fixes OX, OY, et soient a et p les coordonnées du point fixe P.
L'équation de la droite PCA est de la forme y — p = m (x — a); et, eu y faisant alternativement x = 0 et y = 0, on trouve
OC — B — tn« et OA =
APPLICATIONS
On a de même, pour une seconde sécante PDB,
OD=3 — m'a et OB=7" °‘ , r m'
Maintenant, l’équation de AO est
u * y mr
OD + ÔÀ ~ ’ 0U p— m'a + ma-p~ ’
et l’équation de CB est
OC^OB fi — mi m’a- 0
Si l’on retranche ces équations membre à membre, qu’on fasse disparaître les dénominateurs et qu’on réduise, on obtient
, (m — m') (ay + pr)=0, d’où y = — -as,
Ct
équation indépendante de m et de m’, et qui est par conséquent l'équation du lieu. On Toit que c’est une droite qui passe par l’origine. Pour la construire, il suffit de mener PP' parallèle à OX, de prendre P'H=. PH, et de joindre OP*.
Le point P est dit le pôle de la droite OP', et celle-ci est appelée la polaire du point P.
III. Un triangle O AB (fig. 41) , dont un sommet O est fixe, tourne autour de ce sommet en variant de grandeur, mais en restant semblable à lui-même; si le sommet A décrit une droite HL, quel sera le lieu du point B?
Fig. tt.
Prenons le point O pour origine, l’axe des * parallèle à HL, et l’axe des y perpendiculaire & l’axe des as. Soient tang AO X=a, tang BOX=ù, tang AOB=m ,
OH = h, et^ = 5, d’où OB = î.OA, ou bien
v'?+V’==8v/ÔH, + ÂH,= S y/fc» + £j=«Ay/i + i [I].
I.'angle AOB étant la différence des angles AOX et BOX , on a a — b j,.* b + m
ou, comme h = -.
“1 +ab' y + rni
d’où a -
1 — bm '
et l—x—my
x — my a y + mx
Mettant celte valeur dans la relation [1] , on obtient
+ ü»>.2 = 6 h vÿ + V ') < 1 +
y + mx y+mx
Faisant disparaître le dénominateur, et divisant les deux membres par vArJ + y1, ce qui revient à supprimer la solution algébrique y5=0, étrangère & la question, il vient
y + mx=lh \/l + m! ou y = — mx-f SA V !+«*’•
C'est l'équation d’une droite qui fait, arec la partie positive de 1*3x6 des x, un angle égal au supplément de l'angle constant AOB. Pour construire l’ordonnée à l'origine il suffit évidemment de faire l’angle HOA' égal à AOB, et de prendre OB'=S.OA'.
Si l’angle AOB était nul, on aurait m=0, et l’équation du lieu se réduirait à y--- ô/t . ce qui représente une parallèle à HL, comme on devait s’y attendre.
Si l’angle AOB était droit, on aurait m=°o, et, en divisant préalablement l’équation du lieu par m, et faisant ensuite m infini, on trouverait
0 = — x + 8A ou x=8A,
équation d’une perpendiculaire à la droite donnée HL.
IV. Dans un quadrilatère quelconque ABCD (fig. 42) , on inscrit un parallélogramme PQRS dont les cités sont parallèles aux diagonales AC et BD; on
demande le lieu du point de rencontre M logramme.
Fig. 4a.
des diagonales PR et QS de ceparallé-
Prenons pour axes les diagonales du quadrilatère donné.
Faisons
OA=o, OC=o', OB=A, OD=A'.
On a
BP BQ DR DS
AB BC DÛ DÂ m’
