AP C0 CR AS

AB BC CD AD m ’

et, par suite,

=i ru

APPLICATIONS

Les point* P, Q, R, S auront respectivement pour coordonnées :

P, Q, R, ' Sf

x=ma, x=—ma',

a s=— -ma',

x=ma,

Par suite, l’équation de PR est

y — m'h x — ma

x — ma

m'h + m'h' mo-f mai

De même , l’équation de QS est

y — m'h x + ma'

x + ma'

m'h + m’h' — ma’ — ma

Pour obtenir l'équation du lieu, il reste à éliminer m et m' entre les équations [1], [2] et [3J.

Pour cela, retranchons d’abord [2] et [3] membre à membre; il vient, en supprimant le dénominateur commun,

2* — ma -4- ma' =0 d’où m= — -z — i (a— o')

Si , au contraire, on les ajoute membre à membre, il vient

m'(h+hr)~ l> dou m i (/s — /*')'

Substituant ces valeurs de m et de m' dans [lj, on a enfin

Cette, équation est celle d’une droit» qui a pour coordonnées i l’origine i (a — a') et J (h—W), c'est-à-dire qu’elle passe par les milieux I et K des diagonales AC et BD du quadrilatère proposé.

V. Le lecteur pourra s’exercer sur les questions suivantes (faire les figures) :

Trouver le lieu des points tels que les distances de chacun d’eux à deux droites fixes sont dans un rapport constant.

Trouver le lieu du sommet de l’angle droit d'une équerre, mobile dans son plan, et dont l’hypoténuse est o«ujif(te d s'appuyer, par ses extrémités, sur deux droites rectangulaires.

Étant donnés deux droites OA et OB et un point P, on mène par ce point une sécante telle que PIC, on fait l’angle B1M=01P, et Ton prend IM = IC ; on demande le lieu du point M. '

Pans un quadrilatère quelconque ABCD , on inscrit un trapèze PQRS dont les bases PS et QR sont parallèles à Tune des diagonales BD ; on demande le lieu du point de rencontre M des côtés non parallèles de ce trapèze.

82. Application» A l'étude de planteur» phénomène» physique*.

On a tu, aux n“ 19 et 25, comment on pouvait représenter par une courbe la loi, mathématique ou empirique, qui lie entre elles deux variables; et il peut arriver, dans certains cas, qu’au lieu d’une courbe on obtienne une ligne droite.

C’est ce qui arrive (9g. 8, pl.) pour la chaleur latente de la vapeur d’eau en fonction de la température ; elle est représentée par une ligne droite. Il est facile alors d’obtenir la loi mathématique qui lie les deux variables. Si l’on appelle y la chaleur latente, et x la température, on voit que pour x=0 on a y=607,8, et que pour i=230° on a y = 442, 9; il reste donc à trouver l’équation de la droite qui passe par les deux points dont nous venons de donner les coordonnées. En appliquant la formule du n* 70 on aura donc

formule qui représente avec une exactitude suffisante les résultats de l’expérience.

Pareille chose arrive encore (9g. 11, pl.) pour la solubilité du chlorure de potassium et du chlorure de sodium en fonction delà température. En appelant toujours x la température , et y la solubilité du premier sel , ou la quautité de ce sel dissoute dans 100 parties d’eau en poids, on voit que pour x=0 on a y=29, et pour 7=120°, y=62,2; la loi de solubilité de ce sel sera donc exprimée par la formule

On trouverait de même pour le second sel ,

Rbkarûue. Dans ces exemples, et dans tous les exemples analogues, le coefficient angulaire de la droite montre comment la fonction y croit ou décroît pendant que la variable x augmente. S'il l’agit, par exemple, de la solubilité du chlorure de sodium, le coefficient angulaire 0,04 167 de la droite qui la représente étant positif et très-faible, on en conclut que la solubilité croit lentement lorsque la température augmente. Pour le chlorure de potassium, le coefficient angulaire étant 0 ,2766 , on voit que la solubilité croit d'une manière plus rapide. Pour la chaleur latente, le coefficient angulaire étant négatif, — 0,717, il en résulte qu’elle décroît lorsque la température augmente.

83. L’ordonnée d’une droite inclinée sur l’axe des x peut passer par tous les états de grandeur, depuis l’infini négatif jusqu'à l’infini positif; il en résulte qu’une droite ne peut représenter d’une manière rigoureuse les lois d’un phénomène qu autant que les quantités considérées peuvent passer aussi par tous les étals de grandeur. Or, c’est ce qui n’a pas lieu en général , et la loi d'un phénomène ne peut, le plus souvent, être représentée par une droite que dans une certaine étendue. Prenons pour exemple la formule

qui représente , d’après Gay-Lusaac , la loi suivant laquelle varie le volume d’un gar. en fonction de la température (la' pression restant la même). Dans cette for-

APPLICATIONS. 87

mule, V, est le volume à la température O , V est le volume à la température I, et a est le coefficient de dilatation , qui pour l’air est égal à 0 ,00367.

Cette équation, étant du premier degré en V et », peut être remplacée par une ligne droite, en prenant I pour abscisse et V pour ordonnée; et il est facile de voir que cette droite serait inclinée sur l’aie des ». Klle couperait cet axe pour

t = — et passerait au-dessous pour des valeurs de f algébriquement inférieures, c'est-à-dire que le volume V du gaz pourrait devenir nul et même négatif, ce qui est évidemment absurde. Cette remarque suffit pour faire voir que la loi de dilatation des gaz, exprimée par l'équation ci-dessus, n’est vraie qu’entre certaines températures , et que ce n’est par conséquent qu’une loi approximative.

11 n’en est pas de même de la loi du mouvement uniforme d’un point sur une droite :

e=e, + ft,

équation dans laquelle e„ est la distance du mobile à l’origine lorsque t=0, « sa distance à l’origine au bout du temps I, et r la vitesse du mobile, ou l’espace qu’il parcourt dans l’unité de temps. Comme il ne s'agit ici qne d’une concèption de l’esprit, que rien n’empêche de prolonger le mouvement indéfiniment par la pensée, soit avant 1=0, soit après, et que le mobile peut occuper toutes les positions à droite ou à gauche de l’origine, il s'ensuit que l'équation ci-dessus ex* prime d’une manière complète la loi du mouvement considéré..

Cette équation étant du premier degré en e et t , peut être remplacée par une ligne droite, en prenant t pour abscisse et e pour ordonnée; et cette droite, qui peut avoir des positions très-diverses suivant la grandeur et le signe des quantités t„ et v, représentera aussi d’une manière complète la loi du mouvement dont il s'agit.

84. On peut obtenir par la Géométrie les solutions communes à deux équations du premier degré à deux inconnues. En effet, si l’on considère dans chaque équation les inconnues comme des variables, chacune de ces équations représentera une droite, et les solutions communes aux deux équations ne seront autre chose que les coordonnées du point commun aux deux droites. En discutant sous ce point de vue le système des deux équations

o* + bj/=e et a'x + b'y=tf ,

on retrouverait toutes les circonstances de la discussion qui a été faite en Algèbre élémentaire*. Nous conseillons cet eiercice aux élèves, nous ne nous y arrêterons pas.

Mais supposons qne sur une même droite se meuvent deux points matériels, dont le mouvement soit exprimé par les équations respectives ;

e=#,-l-cl et s=e,' + *'l;

le problème qui consiste à déterminer le lieu et l’instant de leur rencontre pourra être résolu eu cherchant l’intersection des deux droites représentées par ces deux

*Voir notre Algèbre élémentaire, 2* édition, pages 100 et sulv.

équations , et la discussion de ce problème géométrique reproduira toute la discussion du problème des courriers *.

Si l’on avait trois mobiles au lieu de deux et que l’on se proposât de trouver la condition nécessaire pour qu’ils puissent se rencontrer en un mime point au même instant, ce problème reviendrait à chercher la condition pour que les droites représentées par les trois équations

e=e,+vt, e—e,'+vft, e=*"+tfl,

aient un point commun. En appliquant la règle du n° 72 , on trouverait

v— e" e,—e," t f — if~e,'—et"’

ce qu'on peut exprimer en disant que les vitesses relatives des deux mobiles doivent ( Ire proportionnelles d leurs distances relatives initiales.

Cette condition serait remplie, par exemple, pour trois mobiles animés de mouvements uniformes représentés respectivement par les équations

lis se rencontreraient , au bout de 10 secondes , à 80 mètres de l’origine, du cité positif.

8S- L'équation de la ligne droite est encore susceptible d’un autre genre d'applications.

Supposons que dans un phénomène physique deux variables z et y soient liées entre elles par une équation de la forme

y — axm + bxm-e [1],

et qu'il s’agisse de déterminer les coefficients a et b d’après un certain nombre n d'expériences donnant autant de systèmes de valeurs correspondantes de z et de y. Si les résultats de l'expérience pouvaient être considérés comme rigoureusement exacts, il suffirait de substituer, dans l'équation [1], deux quelconques des systèmes de valeurs correspondantes de z et de y fournis par l’observation, et Ton aurait ainsi deux équations du premier degré en a et b pour déterminer ces coefficients. Mais les résultats de l’expérience ne pouvant être qu’approchés, il pourrait arriver que les valeurs de a et de b, calculées ainsi pour deux systèmes de valeurs de z et de y , ne convinssent pas aux autres systèmes. On doit donc faire concourir à la détermination de a et de b tous les systèmes de valeurs de z et de y qui ont été fournis par l’expérience. Voici comment on procède :

'Voir notre Algèbre élémentaire, pages 103 et suiv.

APPLICATIONS

Divisons l’équation [1] par ce qui donne

et posons ie— x et j^=Y,

d’où Y=aX + b [JJ.

Ayant n systèmes de valeurs correspondantes de x et de y, on en déduira n systèmes de valeurs correspondantes de X et de Y.

Cela posé, traçons dans un plan deux axes rectangulaires, et construisons les n points qui ont pour coordonnées par rapport à ces axes les valeurs de X et de Y. L’équation [J] étant du premier degré en X et Y, tous les points ainsi obtenus devraient être en ligne droite si les résultats de l'expérience étaient rigoureux. Cela n’arrivera pas en général ; mais ces n points s'éloigneront peu d’une ligne droite (autrement l'équation [1] ne représenterait pas avec une exactitude suffisante les données de l’expérience). On prendra alors un fil fin que l’on tendra pa ^leideux bouts, et on l’appliquera sur l’épure en faisant varier sa direction jusqu'à ce que les n points s’en écartent le moins possible, les uns en dessous. les autres en dessus. On marquera sur l’épure les extrémités du fil dans cette position, on mesurera les coordonnées de ces extrémités , et l’on cherchera l’équation de la droite qui passe par ces deux points. En la mettant sous la forme [J] , on aura la valeur des coefficients a et b.

Cette méthode a été employée par M. de Prony, dans ses recherches sur le mouvement des eaux. C’est aussi celle que nous avons employée pour obtenir la droite (fig. 8, pl.) , qui représente les expériences de M. Régnault sur la chaleur latente de la vapeur d’eau en fonction de la température.

On l’emploierait encore si la loi du phénomène étudié, au lieu d’être exprimée par l’équation [1] , l’était par une équation de la forme

9 et \ désignant des fonctions quelconques dont les coefficients sont supposés connus. En divisant par <|>(z) et posant

9(x)=X et JL=Y,

on mettrait encore l’équation sous la forme

Y = oX+i>

et l’on opérerait comme il vient,d’être dit plus haut pour déterminer les coefficients inconnus a et b.

’ CHAPITRE IY.

86. Conditions pour qu'une équation du second degré à deux variables représente une circonférence de cercle. NOUS avons

trouvé (10) que la circonférence de cercle rapportée à des axes obliques a pour équation générale .

(»— a)'+(y— P)' + 2(y— p)(x — «)cosô=r* [1],

8 désignant l’angle des axes, a et p les coordonnées du centre et r le rayon. Cette équation étant du second degré, il est naturel de chercher tout d'abord comment on peut reconnaître qu’une équation du second degré à deux variables représente une circonférence rapportée à un système d’axes obliques.

Prenons l’équation générale du second degré à deux variables, laquelle peut toujours se ramener à la forme

Ay* + Bxy-fC^-fDy + ELr-f F = 0 [2].

Pour que cette équation représente une circonférence de cercle rapportée à des axes faisant entre eux l'angle 8, il faut et il suffit évidemment qu’il existe des valeurs de a, p et r, finies et déterminées, pour lesquelles les équations [1] et [2] aient les mêmes solutions. Or, on démontre en algèbre que pour que deux équations à deux variables aient les mômes solutions, il faut et il suffit que leurs coefficients soient proportionnels. Donc, pour que les équations [1] et [2) représentent la même circonférence, on doit avoir

I 2 COS 6 — 1 2(p-(- a COS 0) 2 (» -(- JS cos 8)

a’+3’+ 2“? cos o — r1’

d’où l’on tire

A=C, B = 2Acos0,

P+aCOS0 = — ^ [3], a + ,BC0S8 = — ^ [4],

«’ -J- P' + 2 afl cos 6 — r1

Mais les deux premières de ces équations, étant indépendantes de a, p et r, doivent être vérifiées d’elles-mêmes ; donc, pour qu’une équation du second degré à deux variables puisse représenter une circonférence de cercle rapportée à des axes obliques donnés, il faut : l°çuc les coefficients des caircs des variables soient égaux et de même signe; 2° que le coefficient de xy soit égal au double produit du coefficient de l'un des carrés des variables par le cosinus de F angle des axes.

Toutefois, ces conditions nécessaires ne sont pas suffisantes ; il faut encore qu’il existe des valeurs réelles et déterminées de a, p etr qui vérifient les équations [3], [4] et [5]. Les équations [3] et [4] sont du premier degré, et l’on peut s’assurer qu’elles donnent toujours pour a et p des valeurs finies et déterminées; ces valeurs, portées dans l’équation [5], font connaître la valeur de r. Mais l’équation [5], étant du second degré, la valeur de r pourra être réelle, nulle ou imaginaire. Selon que l’un ou l'autre de ces trois cas aura lieu, l’équation [2] représentera une circonférence réelle, un point, ou une circonférence imaginaire. Si elle représente un cercle, les valeurs trouvées pour a et p seront les coordonnées du centre; et la valeur trouvée pour r sera celle du rayon.

Au lieu de déterminer le centre par ses coordonnées, comme nous venons de le dire, on peut le construire graphiquement. En effet, si on regarde a et p comme des coordonnées courantes, les équations [3] et [4] représentent alors deux droites qui passent par le centre de la circonférence. On aura donc ce centre en construisant ces deux droites et en déterminant leur intersection. En écrivant les équations [3] et [4] sous la forme

p = — COS 0

cos 0 2A cos s’

on voit que la première de ces droites est perpendiculaire à l’axe des y (76) et la seconde perpendiculaire à l’axe des x, ce qui rend leur construction très-facile. On peut aussi construire le rayon r.

87. Lorsque les axes sont rectangulaires, l’équation générale de la circonférence de cercle est

et, en l’identifiant avec l’équation [2], on trouve que, pour qu'une équation du second degré à deux variables puisse représenter une circonférence de cercle rapportée à des axes rectangulaires, il faut encore que les coefficients des carrés des variables soient égaux et de même signe, mais elle doit manquer du terme en xy.

Pour avoir les coordonnées du centre et le rayon, il suffit de compléter les carrés des deux termes en x et des deux ternies en y dans l’équation proposée. En effet, toute équation qui satisfait aux conditions précédentes, après quel’onadivisésesdeux membres par le coefficient de l'un des carrés des variables, prend la forme

as* + V* + + by -f- c = o.

Cette équation peut s’écrire

Or, le premier membre exprime le carré de la distance d’un

point quelconque ( x , y) à un point déterminé ^ — 0 Celle

distance étant constante, l’équation [6] représente une circonférence réelle , un point ou une circonférence imaginaire, sui-

vaut que la quantité — -j- c, qui exprime le carré du rayon,

est positive, nulle, ou négative.

Nous engageons le lecteur à se familiariser avec les diverses formes de l’équation de la circonférence de cercle, suivant les positions diverses de celte courbe par rapport aux axes de coordonnées.