II. De l’équation [7] on tire

et si l’on suppose x = OP, d’où y = MP, il vient MF = A'P.PA.

Donc la perpendiculaire, abaissée d'un point de la circonférence sur un diamètre, est moyenne proportionnelle entre les deux segments de .ce diamètre.

III. Le triangle rectangle MAP (fig. 43) donne "AM* = MP-f-AP*. Le point M étant sur la circonférence [7], on a

MP* = r1 — x’; et comme d’ailleurs AP = r + x, il vient XM’ = 2r (r + *) = AA'. AP.

Donc, dans une circonférence, toute corde est moyenne proportionnelle entre sa projection sur le diamètre qui passe par une de ses extrémités et ce diamètre lui-même.

IV. Tous Us angles inscrits dans un mime segment de cercle sont égaux à la moitiéde l'angle au centre qui correspond au même segment.

Fig. U

Prenons la corde AB (fig. 44) pour axe des x, et le diamètre perpendiculaire à cette corde pour axe des y, et posons AB = 2c, OC = p ; l’équation de la circonférence sera — p)*=r1. Dési-

gnons par x' et y' les coordonnées d’un point M de celte courbe ; les coefficients angulaires de AM et de BM valant respec-

livement —f— 7 et — — >, nous avons (74),

d’où, en exprimant que le point ( x\ y') appartient à la circonférence et en remarquant que c* = r’ — il vient

tang AMB= = tangOCB;

ce qui démontre le théorème.