Positions relatives de denx circonférences de cercle

Prenons pour axe des x la ligPe des centres et pour axe des y la perpendiculaire à cette ligne passant par le centre de la plus grande des deux circonférences. Si nous désignons par D la distance des centres et par R et r les rayons, les équations des deux circonférences sont

.r*-fy* = R* et (x— ü)*+v*=r*.

Pour obtenir les coordonnées de leurs points d’intersection, il faut résoudre ces équations en y regardant x et y comme les inconnues. D’abord, en les retranchant membre à membre, y est éliminé, et l’on trouve

d’où il suit que les deux points d’intersection sont sur une même

perpendiculaire à la ligne des centres. Maintenant, si l’on porte cette valeur de x, qui est toujours réelle, dans l’une des deux équations, il vient, toutes réductions faites,

D’après cela, si les valeurs de y sont réelles, comme elles sont égales et de signe contraire, on voit que les deux circonférences se coupent en deux points symétriquement placés par rapport à la ligne des centres. Pour que y soit réel, comme les deux premiers facteurs sont positifs, il faut que les deux autres «oient de même signe. On doit donc avoir en même temps

D -{- r — R > 0 et R+r— D>0 ou D + r-R<0 et R+i' — D<o*

Les secondes conditions sont incompatibles, car il en résulterait 2»-<0. Il s’ensuit que les conditions nécessaires et suffisantes pour que deux circonférences se coupent sont

D < R -{- r et D > R — r ;

c’est-à-dire qu’il faut que la distance des centres soit comprise entre la somme et la différence des rayons.

On obtiendrait de même les conditions pour que deux circonférences fussent tangentes extérieurement, tangentes intérieurement, sécantes, ou pour que l’une fût intérieure à l’autre.