Axe* radicaux. La droite représentée par l’équation
trouvée dans le numéro, précédent, droite qui joint les points d’intersection des deux circonférences quand elles se coupent, jouit de la propriété remarquable d’étre le lieu géométrique des points d’où les tangentes menées aux d'eux circonférences sont égales. En effet, les équations des deux circonférences étant mises sous la forme
aJ + yt—R'-O , (x — DJ'-fy’ — r*=0,
les premiers membres expriment la valeur des carrés des tangentes aux deux circonférences, menées parle point (x, y). Or, en égalant ces carrés, on trouve l’équation [8], La droite représentée par cette équation est donc bien le lieu géométrique en question. Cette droite se nomme l’are radical des deux circonférences.
En général , on nomme axe radical de deux circonférences de cercle le lieu des points par lesquels on peut leur mener des tangentes égales; que ces circonférences se coupent ou qu'elles ne se coupent pas. On démontre facilement que l’axe radical de deux circonférences est toujours perpendiculaire à la ligne des centres, quels que soient les axes et la position des deux circonférences par rapport à ces axes, et que son équation s'obtient toujours en retranchant les équations des deux circonférences , après qu’on a fait passer tous les termes dans un même membre.
Remarque. Lorsque les deux circonférences se coupent, les points de l'axe radical intérieurs aux deux circonférences jouissent de la propriété d’être les milieux des cordes égales de longueur
minima.
91. Les axes radicaui de trais circonférences de ceïcle se coupent en un même point.
Soient, pour abréger, R=0, R’ = 0, R"=0 les équations des trois circonférences. D’après ce qui précède, les équations de leurs axes radicaux sont
R — R' = 0, R — R"=0 et R'— R" = 0.
Or chacune de ces équations est une conséquence des deux autres : donc chaque axe radical passe par le point d’intersection des deux autres ; ce qui démontre le théorème.
Il résulte de là un moyen très-simple de construire l’axe radical de deux circonférences qui ne se coupent pas.
Oit. Équation de la tangente A la circonférence de cercle.
Nous allons déduire de l’équation d’une circonférence de cercle celle de la tangente en un de ses points.
Pour obtenir l’équation d’une tangente MT (lig. 45) àlacirconérence C, o n considère cette tangente comme la limite des posi-
Fig. 45.
lions que prend une sécante MX, qui tourne autour du point de contact M, jusqu’à ce que le second point d’intersection N vienne se confondre avec le point M.
D’après cela, si l’on désigne par x', y' les coordonnées du point M, et par x' h, y' -\-k celles du point N, l’équalion de la sécante MN étant (70)
celle de la tangente MT est
y — y' — lim (x — x').
Or, lim quand h tend vers zéro, est la dérivée de l’ordonnée ij
de la circonférence , considérée comme fonction de l’abscisse x, dérivée dans laquelle on remplace x et y par x' et y' coordonnées du point M. Donc le coefficient angulaire de la tangente en un point d’une circonférence est égal à la dérivée de l’ordonnée de la courbe prise par rapport à l’abscisse, dérivée dans laquelle on remplace les coordonnées courantes par les coordonnées du point de contact.
Soit
(x — «y + (y — p)’ -f 2 (x — «) ( y — p) cos 8 = r* [5]
l’équation de la circonférence C. La dérivée de y, déduite de cette équation, est
x — «-{-(y— E) cosQ y — (x— a) coso'
Donc l’équation de la tangente MT est
GÉOM. ANAL.
X' — «-Ht/— P) cos 9 y' — p-f (x' — a) cosQ
af).
Ou a en môme temps la relation
(*’ - «)* + (y' - PJ* ■ + 2 (*' - a) (y' - p) cos 8 = r*.
qui exprime que le point de contact M (x’, y') est sur la circonférence.
03. Lorsqu’on prend des axes rectangulaires passant par le centre, l’équation de la circonférence est x1 -f- 2/’ = ; on en
tire — - pour la dérivée de y par rapport à x, et l’équation de
la tangente au point (x1 y') devient
ou, en réduisant, j/y'-f -xxf=rt [6].
On voit que la droite représentée par cette équation est bien tangente ^ la circonférence, car elle est perpendiculaire au
rayon y = ^ x qui passe par le point de contact.
91. Ëquatlon d'une tangente parallèle à une direction donnée. Soit y = mx l’équation de la droite à laquelle la tangente doit être parallèle, et soit
Æ*-fi/*=r* [7]
l’équation de la circonférence. L’équation de la tangente sera de la forme
y = mx + n [8].
On peut déterminer n, soit en identifiant l’équation [8] avec l’équation [6] de la tangente, soit en exprimant que la droite [8] est à une distance du centre égale à r, ou qu’elle n’a qu’un seul point de commun avec la circonférence [7]. C’est celle dernière méthode que nous allons suivre. En éliminant y entre les équations [7] et [8], on trouve l’équation
(m*-j- l)x‘ + 2/nnx-j-x* — H = 0 ,
dont les racines, quand elles sont réelles, sont les abscisses des points d’intersection de la droite avec la circonférence. En exprimant que ces racines sont égales, on trouve n = ±rv/l -f-m*.
La double valeur de n tient à ce qu’il existe deux tangentes parallèles à la direction donnée. Les équations de ces tangentes sont donc
y = mx ± r 1 + m\
En faisant varier m, l’une quelconque de ces deux équations représentera toutes les tangentes à la circonférence.
Dit. Problème. Mener une tangente à une circonférence de cercle par un point extérieur.
Soit a? -f y'= »J
l’équation de la circonférence, et (a, p) le point extérieur d’où l'on veut mener la tangente. Le problème serait résolu, si l’on connaissait les coordonnées (x',y') du point de contact. Or, ce point étant sur la circonférence, on a
aj1-)- j/'’=r* [9].
D’un autre côté, la tangente deinandéeapouréquationxx'-f-yÿ'=»J; donc cette équation doit être vérifiée par les coordonnées a et p, du point donné, ce qui donne la relation
Les équations [9] et [10] feront connaître les valeurs des coordonnées xi, y' du point de contact. Le calcul et la discussion ne présentent aucune difficulté.
OC. Cordc des contacts. Si l’on regarde les coordonnées x* y' des points de contact comme des coordonnées courantes, l’équation [9] représente la circonférence donnée, et l’équation [10] une droite qui passe par les points de contact. On aura donc les points de contact en construisant celte droite et en déterminant ses points d’intersection avec la circonférence. A cause de cela, l’équation [10] est dite l’équation de la corde des contacts, relative au point (s, p). Il est important de remarquer que l’équation de la corde des contacts relative à un point s’obtient en remplaçant, dans l’équation de la tangente, les coordonnées courantes par les coordonnées de ce point.
07. PAies et polaires. Pour construire la corde des contacts, dont l’équation est
cherchons scs coordonnées à l’origine. Si nous faisons d’abord.
ÿ=o, il vient x'= — . Celte abscisse, étant indépendante de p, est
la môme pour toutes les cordes des contacts des tangentes menées à la circonférence par les points de la droite x' = a, parallèle à l’axe des y ; toutes ces cordes se coupent donc en un môme point situé sur l’axe des x. Ce point fixe se nomme le pôle de la parallèle x'=*, et celle-ci est appelée la polaire du point fixe. Il est facile de démontrer que toute droite tracée dans le plan d’un cercle a pour pôle un point situé sur la perpendiculaire abaissée du centre du cercle sur cette droite, et réciproquement, que tout point pris dans le plan du cercle est le pôle d’une droite perpendiculaire à celle qui joint ce point au centre.
98. Exercices. I. Trouver le lieu décrit par le sommet d’un angle de grandeur invariable qui se meut dans un plan de manière que scs côtés passent toujours ■ par deux points fixes.
Soient A et B les deux points fixes (le lecteur est prié de faire les figures qui manquent), et m la tangente de l’angle donné. Prenons pour a je des x la droite AB et pour axe des y la perpendiculaire menée par le milieu de AB, et soit M (x, y) un point du lieu demandé. Si l’on fait AB — 2c, les coefficients angulaires de AM et de DM sont respectivement égaux (70, rem. I) à et - '
et l’on a (71);
x — c x + c , ... 2cy , .
— =m, dou x5 + t/! — c3— 0 '
ixJL m
Telle est l’équation du lieu. Ce lieu est une circonférence de cercle dont le centre est situé sur l’axe des y. Si l'angle est droit, on a alors m = » et l'équation se réduit A x’ + y 3=c3. Le lieu est donc alors une circonférence décrite sur AB comme diamètre.
II. Troutcr le lieu décrit par le sommet d’un angle invariable qui se meut de manière que scs côtés soient toujours tangents à une circonférence de cercle.
Prenons des axes rectangulaires passant par le centre, et soient
y=mx + r yh + "d et y=m'x + r y^l + m'3 [1]
les équations des côtés de l’angle. En exprimant que la tangente de det angle est égale à une quantité constante K (74) , on trouve l'équation
Kmro' + (m— m') + K=0 [2];
et en éliminant m et m' entre cette équation et les équations [1], on obtiendra l’équation du lieu.
Pour effectuer cette élimination , il faut d’abord faire disparaître les radicaux des équations [1]. Or, en faisant disparaître le radical de la première, il vient
(r1— is)mJ+2iÿm + ra— y’=0 [3],
et en faisant disparaître le radical de la seconde, on aurait une équation qui ne différerait de l’équation [3], qu’en ce que m serait changé en m'. D’où il suit que les valeurs de m et m' sont les deux racines de l’équation [3]. D’après cela, on a
, r5 — y’ mm = -z — r2 — J?
et m —m'—
2 rv/x’ + y-— r1 r3— a? *
et , en substituant dans l’équation [2] , on trouve , toutes réductions faites ,
Cette équation se décompose dans les deux suivantes :
+ K!)±2rVl + Ki.
Celles-ci représentent deux circonférences concentriques à la proposée. L’une de ces circonférences est le lieu demandé, et l’autre le lieu des sommets d’un angle supplémentaire de l’angle donné et dont les côtés seraient également tangents au cercle donné.
III. Étant données deux circonférences concentriques, on mène des tangentes à la circonférence intérieure, et par les points d’intersection de chacune de ces tangentes avec la circonférence extérieure on mène des tangentes à cette dernière circonférence. Ces couples de tangentes se coupent en des points dont on demande le lieu.
Prenons des axes rectangulaires passant par le centre et désignons par r et R les rayons des deux circonférences. Considérons un point du lieu (x, y) et soit
Xx + Y y=R3
l’équation de la corde des contacts relative à ce point, équation dans laquelle X et Y représentent les coordonnées courantes. Celte corde devant être tangente à la circonférence intérieure, sa distance à l’origine doit être égale à r. Cette dis-
tance étant égale i — — (76) , on a
OU
Le lieu demandé est donc une circonférence concentrique aux deux circonférences
proposées et dont le rayon est égalé — .
Questions proposées. I. Décrire une circonférence qui coupe trois circonférences données en des points diamétralement opposés.
II. Si d’un point pris dons le plan d'un cercle on mène des sécantes, le produit des distances de ce point aux points d'intersection de chaque sécante arec la circonférence est constant.
III. Si d'un point pris dans le plan d’un cercle on lire deux sécantes perpendiculaires l'une à l’autre , la somme îles carrés des distances de ce point aux quatre points d’intersection de la circonférence et des sécantes est constant.
IV. On donne un triangle ABC. Du centre du cercle inscrit d ce triangle, arec un rayon arbitraire, on décrit une circonférence; on joint un point quelconque M de cette circonférence aux trois sommets du triangle et on demande de prouver que l’expression
Âïî1 x a + ÜM* x b + CM ’ X c est constante, a, b, c désignent les trois côtés.
V. On donne deux circonférences concentriques, et on demande le lieu des points tels qu’en menant de chacun d’eux des tangentes aux deux circonférences , ces tangentes soient perpendiculaires.
VI. Trouver l’équation du cercle passant par trois points donnés.
