CHAPITRE V
Ce chapitre est consacré à l'exposition dos théories générales qui ont pour objet de déduire de l’équation d’une courbe’ quelconque les coordonnées de certains points et les équations de certaines droites jouissant de propriétés remarquables à l’égard de la courbe, points et droites qu’il importe de connaître pour discuter cette courbe, c’est-à-dire pour déterminer exactement sa forme et sa position.
§ 1. DES TASGEKTES.
00, Dêüuitions. On appelle tangente à une courbe AB(fig. 46)
en un point déterminé M de celte courbe, la limite MT des positions que prend une sécante MS passant par ce point, lorsqu’on la fait tourner autour de ce point de manière qu’un second point d’intersection M' se rapproche indéfiniment du pre- Fig. 46. mier.
Nous disons un second point d’intersection, car la courbe peut être telle qu’elle soit coupée en plus de deux points par une droite. Dans ce cas, il arrive fréquemment qu’une même droite MT, tangente en un point M , est en même temps sécante en un autre point N.
Soient x' et y' les coordonnées OP et MP du point M, et m le coefficient angulaire de la tangente MT; son équation sera de la forme
et il reste à déterminer la valeur du coefficient m.
100. Théorème. Le coefficient angulaire de la tangente est égal à la dérivée de l'ordonnée du point de contact, considérée comme une fonction de son abscisse.
Menons l’ordonnée M'P', et MQ parallèle à OX; faisons, pour abréger, MQ = A et M'Q = /c; les coordonnées du point M' sont et y' ' -\-k. Par conséquent, l’équation de la sécante MS qui passe par les points M et M' est (70)
y — y' = jl(x— *')•
Cela posé, faisons tourner la sécante autour du point M, de manière que M’ s’en rapproche indéfiniment ; k et h tendront tous
deux vers zéro, mais le rapport y tendra en général vers une limite déterminée, qui n’est autre chose que m, d’après la définition de la tangente. On a donc
tn = lim. T.
Mais k étant l'accroissement de l’ordonnée y' correspondant à l’accroissement h de l'abscisse x', la limite du rapport de ces deux accroissements est la valeur que prend la dérivée de l’ordonnée de la courbe, considérée comme une fonction de l’abscisse, quand on donne à l’abscisse la valeur x', et par suite à l’ordonnée la valeur y'; le théorème sc trouve donc démontré.
Si l’équation de la courbe peut être mise sous la forme y = ? ( x ), on aura, en général, pour le point dont l’abscisse est x',
Ainsi l’équation de la tangente en ce point est
équation à laquelle il faut joindre la relation y' = <p (x'), qui lie les coordonnées du point considéré.
THÉOniES GÉNÉRALES. 105
Prenons pour exemple le cercle dont l'équation est
et proposons-nous de trouver l'équation de la tangente au point qui a pour abscisse * =r 3. On a, dans ce cas ,
y = ?(*)= ±^25 — 3. d'où 9'(*) = ±— L=r.
et pour y =3,
y =?(3) = ±4, et ?'13) = ±L
Si l'on considère le point situé au-dessus de l'axe des x, on doit prendre les signes supérieurs , et l'équation demandée est
y — 4= — 5(.r — 3) ou y = — Jas + V-
Si l'on considère, au contraire, le point situé au-dessous de l'axe des x, on doit prendre les signes inférieurs, et l’on a
y + 4 = } (* — 3) ou y = \x —
101. Si l’équation de la courbe ne peut pas être mise sous la forme y = y(x), soit, en général, f(x,y) = 0 celte équation.
Considérons y comme tenant lieu de sa valeur en fonction de x, et prenons la dérivée des deux membres, en ayant égard à la régie des fonctions composées et à celle des fonctions de fonctions, nous aurons
d'où
f.' (x, y) + /■/(*, y)-yJ — o,
Ainsi : le coefficient angulaire de la tangente s'obtient en divisant la dérivée du premier membre de réquation de la courbe par rapport à x par sa dérivée par rapport à y, et en prenant le quotient en signe contraire. f
L’équation de la tangente au point dont les coordonnées sont x' et y' est donc
v — f* (x >- if) (x— x')
y y~ fTW7¥){ }
ou bien
!//■/(«’, y') + xf* («'» y') = y'f,' («\ y') 4- dfj (x1, y') [3],
équation à laquelle il faut toujours joindre la relation f(x',y').— 0, qui lie les coordonnées x' et y'.
Prenons pour exemple la courbe dont l'équation est
y5 — !jry + *5=0,
et proposons-nous de lui mener une tangente au point qui a pour abscisse 2= I . Nons aurons
fJ[*,y)=-2j + 3iJ, U '*> y)= 3y! — 2* ;
et en désignant par y' l'ordonnée qui correspond à « = t , on trouve pour l’équation de la tangente,
(y -tf) (3y° - 2) +(*-*') (3 - 2y0 = 0. à laquelle il faut joindre l'équation
Cette équation a ses trois racines réelles, et l'on trouve
et ,/ = ±i±^.
En prenant, par exemple, y'=l , on trouve pour l’équation de la tangente,
(y — 1) (3-2) + (x-l) (3-2) = 0 ou y =-2 + 2.
Remarque. Le second membre de l’équation [3] est du m* degré par rapport à x' el y\ mais il s’abaisse au m — 1*, par suite de la relation f(x',y') = 0. La manière la plus simple de le démontrer se fonde sur un théorème dit théorème des fonctions homogènes, et qui consiste en ce que, si /"(x, y) est une fonction algébrique homogène du m" degré, on a identiquement
xfj (x, y) + yf (x, y) = mf(x,y).
On démontre ce dernier théorème en prenant la dérivée par rapport à t des deux membres de l’identité
f(tx,ty) — lmf(x,y),
qui définit l’homogénéité de la fonction, et en faisant ensuite 1=1. Cela posé, soit
?mi ç«-i,... désignant respectivement l’ensemble des termes du
m* degré, du m— 1* degré, etc. En vertu du théorème précédent, on aura
*/’•' (x, y) + yr,' (m— l )?*,+.•• . -+- ?l
==ni(l*-} “)“?«) ?m-t 2o„j 3ç„ .J . . . .
Si l’on remplace x et y par les coordonnées X,y' du point de contact, la somme qui est dans la parenthèse s’annule, elle second membre n’est plus que du m — 1* degré, ce qui démontre la proposition énoncée.
102. Sous-tangente. On nomme sous-tangente la distance du point où la tangente rencontre l’axe des x au pied de l’ordonnée du point de contact.
La longueur de la sous-tangente, correspondant h un point de la courbe dont les coordonnées sont x', y’, est exprimée par la valeur de a: — x1, tirée de l’équation de la tangente à la courbe en ce point, après y avoir fait y = 0.
103. Normale et sous-normale. On appelle normale à une courbe en un de ses points la perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point.
L’équation de la normale à la courbe représentée par l’équation f(x, y) = 0 au point (a;', t/') est, d’après cela.
y — y' — -h (x — x’), ou y
y — f cov* • x> >
[m— /V COS 8
suivant que les axes sont rectangulaires ou obliques.
La sous-normale est la distance du point où la normale rencontre l’axe des x, au pied de l’ordonnée du point de contact.
La longueur de la sous-normale est exprimée par la valeur de x — x', tirée de l’équation de la normale, après y avoir fait y = 0.
104. Problèmes relatifs aux tangentes. Ce qui précède permet de résoudre par le calcul tous les problèmes relatifs aux tangentes.
Problème I. Mener, par un point extérieur (x*, y"), une tangente à la courbe qui a pour équation f (x,y) = 0.
Soit toujours (x', y') le point de contact ; le point (x", y") étant sur la tangente, ses coordonnées doivent satisfaire à l’équation de cette droite; on a donc
(y” — i OU (*> i0+ (*"- *’) U (*',»/) = o.
Mais, le point ( x\ y') appartenant à la courbe, on a aussi f(x',y')=0.
Ces deux équations détermineront x' et y'; et il existera autant de tangentes passant par le point donné qu’il y aura de systèmes de valeurs réelles de x' et de y' satisfaisant à ces deux équations. Si l’équation de la courbe est du m‘ degré, celle de la tangente est du m — l1""*, et le nombre de ces solutions est au plus m ( m — l). Dans le cas des courbes du second degré, ce nombre est égal à 2.
Comme exemple, proposons-nous de mener, par le point dont les coordonnées sont y"— 0 et x"= 13, une tangente au cercle qui a pour équation
Les deux équations à résoudre seront
(0 — y').2y' + (13 — ^.W—O et *'* + y" = 2S, ou & + \p— 13x' = 0 et z"-)- y'* = 25-
On en tire facilement
d’où y'=±H-
Ce problème peut aussi se résoudre graphiquement, comme dans le cas du cerclc(96), en construisant les lignes représentées par les deux équations précédentes quand on y considère x' et y' comme des coordonnées courantes. Les points d’intersection de ces deux lignes, dont l'une est la ligne proposée et l’autre une ligne d'un ordre moindre au moins d’une unité, sont les points de contact cherchés.
105. Problème II. Mener à une courbe dont l’équation est f(x, v) = 0, une tangente parallèle à une droite donnée, y = mx.
Trouver l'équation de la tangente en fonction de son coefficient angulaire.
La tangente devant être parallèle à la droite représentée par y=mx, son équation sera de la forme
■y =mx -j- n.
et il s’agit de déterminer n.
Soient toujours x' et y' les coordonnées du point de contact, l’équation de la tangente en fonction de ces coordonnées étant
(U — y') f» (x', !/')+ (x—x1) fj (x\ y') = O
ou
fJJAx n
fi (x\ y ) x ’
pour que cette équation soit identique à la première, on doit avoir
d’ailleurs, on a f(x', y') — 0 [6],
puisque le point de contact est sur la courbe. Ces trois équations serviront à déterminer x', y' et n. Il y aura autant de tangentes parallèles à la direction donnée qu’il y aura de systèmes de valeurs réelles de x’ et de y1 satisfaisant à la première et à la troisième. *
Ceci suppose que la direction donnée n’est pas parallèle à l’axe des y ; si elle lui était parallèle, l’équation de la tangente serait x=x\ et l’on n’aurait plus que deux équations à résoudre, savoir:
fi (x, y’) — 0 et f{x’,y’)=0;
la première résulte de l’hypothèse m = oo .
Si entre les équations [a] et [6] l’on élimine x’ et y' pour calculer la valeur de n, on aura l’équation de la tangente en fonction du coefficient angulaire.
Comme exemple, supposons qu'il s’agisse Je mener au cercle dont l'équation est jr,4-ÿ,= 15 une tangente parallèle à la droite représentée par l'équation y = — Les équations à résoudre sont
On en tire
a^efcfS, d'où y'=:fc*y, puis n = ± fi; , valeurs dans lesquelles les signes se correspondent.
Les équations des deux tangentes sont donc
10 j. Problème III. Mener une tangente commune à deux courbes dont les équations sont f (x, y) = 0 et ? (x, y) — 0.
Soil y = nuT-fn l’équation de la tangente commune, et soient x', y' les coordonnées du point où elle louche la première courbe, cl x", y" les coordonnées du point où elle touche la seconde. On aura, en ayant égard au contact avec, la première,
fJ (*’. y) + ni /» (x\ y') = 0, y’=mx' -f n, f(x',y') =0, cl, en ayant égard au contact avec la seconde,
^r{^',y")+^\{x",y'')=0, y"=Tnx’+n, <?(x",y")=0.
Ces six équations serviront à déterminer les inconnues x', y', x®, y", m et n. En éliminant xé et ÿ entre les trois premières, puis x" cl y " entre les trois dernières, on obtient deux équations en ni cl n qui déterminent ces inconnues, et par suite toutes les autres.
Prenons pour exemple les deux cercles représentés par les équations ï» + ÿ'=R» et (i — a)’ + y’ = r».
Les six équations à résoudre sont :
' i’4-mi/'=0, y'= mV-t- n , j'1 -f y/,= R1 ,
(x"— aH-my' = 0, y " = nu"+n, (*" — o) 1 + y”' = r-.
Les trois premières donnent :
nrn
nw’
Les trois dernières donnent de mime :
n + ma ' I + ’
m(n + ma) 1+m* ’
(n + ma)J=:rsvt +m>).
Des deux équations en m et n on tire, en éliminant n,
Va' — (K ±T)' ’
valeurs dans lesquelles r doit être affecté du même signe au numérateur et au dénominateur. Ces valeurs sont au nombre de quatre, comme cela doit être, puisque l'on sait qu'il y a en général quatre tangentes.
Connaissant m, on en déduit immédiatement n =± R^l -f ni2, et par suite toutes les autres inconnues. La discussion de leurs valeurs ne présente aucune difficulté, et elle reproduit toutes les circonstances connues du problème géométrique dont nous nous occupons.
On peut même déduire de ces valeurs la construction géométrique ordinaire. Si l'on cherche, en effet, le point où la tangente coupe la ligne des centres, qui est ici l’axe des x, on n'a qu'à faire y — 0 dans l'équation y = mx -p n , ce qui donue pour l'abscisse de ce point
ou, en mettant pour m et n leurs valeurs et simplifiant,
Ra “ — R±r'
Ces deux valeurs de x conduisent à La construction connue.
107. Problème IV. Une courbe passe par l'origine, et on demande de trouver la tangente en ce point.
L’équation de la tangente étant alors de la forme y=mx, le coefficient angulaire de lit tangente à l’origine est égal à la limite vers laquelle tend le rapport^, tiré de l’équation de la courbe,
quand x tend vers zéro.
Soit, par exemple,
y=sina;,
on aura
y sinat ,
lnn - =lim = 1.
Donc la tangente à la sinusoïde à l’origine est la bissectrice de l’angle des axes.
Remarque. Il sera quelquefois plus commode de chercher lim et d’en prendre l’inverse.
S 2. APPLICATION DE LA THÉORIE DES TANGENTES A LA DISCUSSION DES COURBES.
100. La discussion du coefficient angulaire de la tangente à une courbe fait connaître les particularités les plus importantes de son cours.
Si l’on fait croître x depuis une valeur x' jusqu’à une valeur tr*, et que dans cet intervalle le coefficient angulaire ni de la tangente reste positif, il en résulte que les accroissements A et k sont de même signe; d'ailleurs A étant positif puisqu'on fait croître x, il s’ensuit que k est aussi positif, et que par conséquent l’ordonnée y croît algébriquement. Si , au contraire , dans le même intervalle, ni reste négatif, c’est que A et A sont de signe contraire ; et, comme A est positif, il en résulte que k est négatif, et que y décroît algébriquement. Ainsi, dans l’intervalle considéré, la courbe s'avance dans le sens des y positifs ou dans le sens des y négatifs, suivant que le coefficient angulaire de la tangente est positif ou négatif.
Prenons pour premier exemple la courbe dont l'équation est
9y5 + kx1 — 24* = 0, d'où ÿ = dtiv'*((j— i),
nous aurons : m — — .
L'abscisse x ne peut varier que de 0 à (i. Or, de 1 = 0 à * = 3 , m reste positif; donc, si l'on ne considère que la partie de la courbe répondant aux valeurs positives de y , on voit qu'elle s'avance vers les j/ positifs. De z = 3 à x — 6, m reste au contraire négatif; donc, la courbe s'avance alors vers les y négatifs. Ce serait le contraire s’il s'agissait de la portion de la courbe répondant aux valeurs négatives de y. Cette courbe est représentée Fi*' «• Bg. 41.
Prenons pour second exemple la courbe dont l'équation est
nous aurons : m=2(x — 2).
L’abscisse ipeut passer par tous les états de grandeur. Or, dex= — » àz=2.
m reste négatif; donc la courbe s'avance vers les y négatifs; mais Je r = 2 i
i = m reste positif; donc la
courbe s’avance vers les y positifs.
Cette courbe est représentée figure 48.
101). Sens de la concavité.
Si m croit algébriquement lorsqu’on fait croître x depuis x jusqu’à x", on peut d'abord en conclure que l’angle a que fait la tangente avec la partie positive de l’axe des x va en croissant; car on a, en général (06),
msinO sitifi
quantité qui croit algébriquement avec m; donc, si m croit,* augmente. Or, de ce que « va en augmentant, on peut conclure que la courbe tourne sa concavité vers les y positifs, comme on le voit sur les figures 49 et 50. Si, au contraire , m diminue algébriquement, * diminue , et la courbe tourne sa concavité vers les y négatifs, comme on le voit sur les figures 51 et 52.
Ainsi donc, la courbe tourne sa concavité vers les y positifs ou vers les y négatifs, suivant que le coefficient angulaire m de la tangente augmente ou diminue.
On peut encore présenter celte règle sous une autre forme. Si l’on considère m comme une fonction de x, on voit, comme au numéro précédent, que celte fonction augmente ou diminue, se-
GÉOM. ANAL.* 8
Ion que sa dérivée première est positive ou négative. Or la dérivée première de m n’est autre chose que la dérivée seconde
ir i '
Fig. 51.
de y; on peut donc dire que la courbe tourne sa concavité vers les y positifs ou vers les y négatifs, suivant que la seconde dérivée de y, considérée comme une fonction de x, est positive ou négative.
On emploiera, suivant les cas, l’une ou l’autre de ces deux règles.
109. Prenons, pour premier exemple, ta courbe de ta figure 47 pour laquelle on a, comme on la vu plus haut,
, . 413 — xî
y = ±î^i(6— i) et
Ne considérons d’abord que la partie de la courbe qui répond aux valeurs positives de y. On a vu que de x=0 à x=3, y va en croissant; dans cet intervalle m va donc en diminuant, puisque son numérateur décroît et que son dénominateur augmente. Au contraire de x=3 i x = 6, y décroît ; dans cet intervalle m est négatif et augmente en valeur absolue; donc encore m diminue algébriquement. Toute la portion de courbe qui répond aux valeurs positives de y tourne donc sa concavité vers les y négatifs. On verrait de même que la portion de courbe qui répond aux valeurs négatives de y tourne sa concavité vers les y positifs.
Prenons, pour second exemple, la courbe de la figure 48, pour laquelle on a î/=z>— 4x-f 3 et m = 2 (x — 2).
La dérivée première de m est + 2, quantité positive; la courbe tourne donc constamment sa concavité vers les y positifs.
Soit enfin, pour dernier exemple, la courbe de la figure 69, qui a pour équation (voir plus loin le n* 151)
2xv + x’ — 2ÿ — 3x — 1 = 0,
d'où ÿ = +
théories générales.
on trouve —
et en appelant m' la première dérivée de m ,
De * = — oo à z~ + 1 , m' est négatif; donc la branche de courbe correspondante tourne sa concavité vers les y négatifs. De x = + 1 à x = + oc , m' est positif; donc la branche de courbe correspondante tourne sa concavité vers .les y positifs.
On arriverait à la même conclusion en remarquant que de x=— oo à x — + I , m diminue ; et que de x = + 1 à x = -f « , m augmente.
