Ordonnées maximums on minimums. Lorsqu'une COUl'be

continue, après s’ètre avancée vers les y positifs, recule ensuite vers les y négatifs, son ordonnée passe par une valeur maximum. Si, au contraire, la courbe, après s’ètre avancée vers les y négatifs, retourne du côté des y positifs, son ordonnée passe par une valeur minimum. Aux points où l’ordonnée est maximum ou minimum, la tangente est ordinairement parallèle à l’axe des x\ en sorte que ces points sont compris parmi ceux pour lesquels on a m=-0. On a d’ailleurs, dans le cas, qui nous occupe, un maximum ou un minimum, suivant que la courbe tourne sa concavité vers les y négatifs ou vers les y positifs, c’est-à-dire suivant que la dérivée première de m (ou la dérivée seconde de y) est négative ou positive. -

Reprenons, pour exemple, la courbe de la figure 47. On a

3— x Vx(U— x)’

quantité qui s’annule pour x=3 , d’où y = ±2- La dérivée de m est

quantité qui , pour * = 3 et y = + 2 , se réduit à

et, pour *= 3 et y =— 2, à m’= +

L’ordonnée y = + 2 est donc un maximum, et l'ordonnée y = — 2 est un mi nimum.

Reprenons, pour second exemple, la courbe de la figure 48. On a m = 2(x — 2),

râleur qui s'annule pourx = 2, d’où y= — 1. La dérivée de m est +2. L’ordonnée i /= — 1 est donc un minimum.

111. La théorie complète des maxima et minima sortirait du cadre de cet ouvrage et exigerait l’emploi du calcul infinitésimal. Ce que nous venons d’en dire suffit pour la discussion des courbes qui se présentent le plus fréquemment dans les applications.

Lorsque deux variables sont liées entre elles par une loi inconnue, et que l’expérience ne donne qu’un certain nombre de couples de valeurs correspondantes de ccs variables, on a vu (25) comment on peut tracer une courbe qui représente approximativement la loi inconnue dont il s’agit. Si celle des deux variables qu’on regarde comme fonction de l’autre est susceptible d’un maximum ou d'un minimum , la courbe tracée doit avoir une tangente parallèle à l’axe des x, et l’ordonnée du point de contact est la valeur maximum ou minimum cherchée de la fonction.

Prenons pour exemple la éourbe de la figure 12 (pl.), qui exprime approximativement la loi suivant laquelle varie le coefficient d'effet utile (25) d’ijne certaine turbine en fonction du nombre de tours qu’elle fait par minute. Si l’on mène à celte courbe une tangente parallèle à l'axe des abscisses, on trouve que le point de contact M répond à l’abscisse 46 et a pour ordonnée 60,5. Le maximum d’effet utile de celle turbine répond donc à 46 tours par minute, et ce maximum est 60,5 à l’échelle de la figure, c’est-à-dire que l’effet utile obtenu est les 0,605 du travail absolu du moteur.

112. inflexions. Lorsque la concavité d’une courbe change de sens, c’est-à-dire lorsque cette concavité, d’abord tournée vers les y négatifs, se tourne ensuite vers les y positifs, ou vice versa, le point où le changement s’opère s’appelle un point d'inflexion. On voit qu’en arrivant à ce point la seconde dérivée de l’ordonnée (considérée comme une fonction de l’abscisse) passe du négatif au positif, ou du positif au négatif. Ordiuaire-

DES ASYMPTOTES RECTILIGNES

ment, c’est en passant par zéro que cette seconde dérivée change de signe; les points d’inflexion, dans ce cas, se trouvent donc parmi les points pour lesquels cette seconde dérivée est nulle.

On reconnaîtra, déplus, que l’ordonnée est maximum pour x=— 1 et minimum pour *= + 1. La courbe a la-forme indiquée par la figure 53.

Remarque. La tangente au point d’inflexion offre cette particularité que la portion de courbe qui précède immédiatement le point d’inflexion et la portion de courbe qui suit immédiatement ce point sont situées, par rapport à celle tangente, chacune d’un côté différent. La figure 53 montre cette disposition.

Nous n’insisterons pas davantage sur les points d’inflexion, et nous passerons sous silence les autres espèces de points singuliers que peuvent présenter les courbes; l’étude complète de ces points exige l’emploi du calcul infinitésimal et ne saurait trouver place ici. Elle offre d’ailleurs peu d’intérêt au point de vue des applications.

$ 3. DES ASYMPTOTES RECTILIGNES

113. Définition. Une droite est dite asymptote d’une courbe, lorsque celle-ci a une branche infinie qui s’approche indéfiniment de la droite, c’est-à-dire que la distance d’un point de la courbe à la droite s’approche indéfiniment de zéro quand on s’avance de plus en plus sur la branche infinie considérée.

Nous nous bornerons, dans la recherche des asymptotes, au cas où l’équation de la.courbe est algébrique.

Asymptotes parallèles & l'axe des y. Cherchons d’abord les asymptotes parallèles à l’axe des y. Soit DC (üg. 54) une branche

de courbe qui a pour ' asymptote une droite AL parallèle à l’axe des y. Soient M un point quelconque de la branche de courbe considérée , et MP la perpendiculaire abaissée de ce point sur l’asymptote; menons en outre MQ parallèle à l’axe des x. En désignant par 0 l’angle des axes, fig. 54. nous aurons MP = MQsinO; ou,

en nommant x l’abscisse du point M, et d celle du point Q,

MP= (x — d) sinO.

D'après la définition de l’asymptote, cette distance doit tendre vers zéro à mesure que le point M s’élève sur la courbe. On doit donc avoir x=d pour y — œ, caractère qui permet de trouver l'asymptote connaissant l’équation de la courbe.

Celle équation étant supposée algébrique , on peut la mettre sous la forme

yV(*) + ir • /H*) + <rv« (*}+•••• +/’»(*) = °>

les expressions (x) représentant des fonc-

tions algébriques et entières de x.

En divisant par y " on obtient

nx)+ 1 u (*)+£/;(*)+•■••+£ u (*) = o.

Or, si l’on fait x—d et y=œ , les quantités ft(d),f,(d]...,fn(d) restant finies, tous les termes à partir du second disparaissent, et il reste simplement

Soient d,, dt, d3, etc., les racines réelles de cette équation, la courbe aura pour asymptotes les parallèles à l’axe des y ayant pour équation

x=dt, x= d,, £=dj, .etc.,

DES ASYMPTOTES RECTILIGNES

pourvu toutefois qu'à ces valeurs de x correspondent des valeurs de y réelles, quoique infinies , c’est-à-dire pourvu que y soit réel . pour des valeurs de x peu différentes, soit en dessus, soit en dessous, de clu ci,, d,, etc.