Exemple. x‘y‘— xy1— 2y’— x

On a ici f{d)=d? — d— 2=0,- d’où d, =2 et d,= — 1 .

On tire de l'équation de la courbe

Ces valeurs sont réelles pour r=2 + t

pour x=— 1— e; t désignant une quantité positive aussi petite que l’on voudra ; la courbe a donc pour asymptotes les parallèles & l’axe des y ayant pour équations

x—ï et x= — 1 ;

en coordonnées rectangulaires, elle a la forme indiquée par la figure 55.

Soit, au contraire, l’équation

sry’— * + 1=0.

On a dans ce cas

f(d)=<P= 0, d’où d=0;

mais on tire de l'équation de la courbe

et si l’on fait x=:fct , e étant toujours une quantité très-petite, on obtient pour y des valeurs imaginaires. La droite qui a pour équation x= 0, c’est-à-dire l’axe des y lui-méme, n’est donc point une asymptote de la courbe. En coordonnées rectangulaires, cette courbe a la forme indiquée par la figure 56.

IIS. Asymptotes non parallèles & l'axe des y. Cherchons maintenant les asymptotes qui ont une direction différente de celle de l’axe des y.

Soit (fig. 57 ou 58) EP une branche de courbe ayant pour asymptote la droite AL, qui fait un angle « avec l’axe des x. Soit

M un point quelconque de la courbe ; abaissons MG perpendiculaire sur l’asymptote; menons l’ordonnée MP qui rencontre l’asymptote en D; nous aurons, dans le triangle MCD,

CM = DM sinCDM = DM sin (0 — a),

6 étant l’angle des axes.

Or, d’après la définition de l’asymptote, CM devant tendre vers zérq à mesure que le point M s’avance sur la branche EP, il en doit être de même de DM, qui lui est proportionnel.

Cela posé, joignons OM ; menons OH parallèle à AL, et qui rencontre MP au point Q. Enfin, soit y = ax + b l’équation de l’asymptote.

A mesure que le point M s’avance sur la branche EP et se rapproche de plus en plus de l’asymptote, la droite OM, quelles que soient d’ailleurs les variations primitives de sa direction, tend à prendre celle d’une droite qui rencontre AL à 1 infini, cest-àdire que OM tend à devenir parallèle à AL et à se confondre par conséquent avec OH. Mais le coefficient angulaire de OH est a; et si l’on nomme c celui de OM, on a MP=c. OP, ou y=cx. Pat conséquent, lorsque x tend vers l'infini, on a

a — lim. c = lmi. -,

c’est-à-dire que U coefficient angulaire de l’asymptote est la limite vers laquelle tend le rapport de l'ordonnée de la courbe à son abscisse, quand cette dernière tend vers l'infini.

116. A mesure que le point M s'avance sur la branche EF, la distance MD tendant vers zéro, MQ tend de plus en plus vers DQ ou

1)ES ASYMPTOTES RECTILIGNES. 121

vers son- égal OB, qui est l’ordonnée à l’origine de l’asymptote, c’est-à-dire b. Or on a MQ = MP — PQ; d’ailleurs, MP = y, et PQ=a.OP=ax. Donc, lorsque x tend vers l’infini, on trouve

6 = litn. (y — ax),

c’est-à-dire que Tordonnée à l’origine de l’asymptote est la limite vers laquelle tend l'expression y — ax à mesure que x tend vers l'infini, le coefficient a étant supposé déterminé comme il a été dit ci-dcssus.

117. Il s’agit maintenant d’appliquer les règles qui viennent d’être démontrées. Pour cela, nous écrirons l’équation de la courbe sous la forme

F„ ( x , y) -f Fm i (x, y) + F„, (x, y) . . . -f etc. = 0.

Fm désignant l’ensemble des termes du degré m, F„, l’ensemble des termes clu degré m — 1, et ainsi de suite.

Remplaçons y par son égal ex; tous les termes de Fm contiendront le facteur xm;tous ceux de F„, contiendront le facteur x"-1; et ainsi de suite. En sorte qu’en divisant par xn, on aura

F„ (l,c) + -F„i(l,c) -j F„j(l,c). . . -}- etc. = 0.

Jb dt

Faisons x infini ; le rapport c deviendra égal à sa limite a; et toutes les fonctions F demeurant finies, tous les termes à partir du second disparaîtront ; il restera donc

Fm (1, a) — 0 [1],

d’où l’on tirera la valeur de a.

On voit que pour former l’équation qui donne le coefficient angulaire de f asymptote, il faut prendre Vensemble des termes du degré' le plus élevé dans l'équation de la courbe, y remplacer x par 1 et y par a, et égaler le résultat à zéro.

118. Représentons maintenant par p la valeur variable de y — ax ; et posons y — ax—fi, d’où y = ax-f-p. Mettons pour y cette va-

leur dans l’équation de la courbe , el développons d’après les règles connues; il viendra

F» (x, ax ) -f F'„ (x, ax).p+‘ F"„(x, <jx) p’ + etc. j

+ Fm-i [x, ax) + F'm,(x,ax)p + etc. > = 0,

+ F,„,(x, ax) +etc. )

toutes les dérivées étant prises par rapport à y, avant d’y remplacer y par ax.

Mais tous les termes de Fm contiennent le facteur xm\ tous ceux de F'm et tous ceux de F„, contiennent le facteur x*-1; tous ceux de F"., de F'«i et de F„t contiennent le facteur x*-1, et ainsi de suite.

En mettant ces divers facteurs en évidence, on peut donc écrire

F- (l,o) .*■+ F', (1 .a) p aT-'-H F"m (1 ,a) p* + F«i(l,a) .HbF'»-i (1,«) P +F.-«(I,a)

x*“*-|-etc.=0.

Or, Fm(l,fl) est nul, d'après l’équation qui a servi à déterminer a ; supprimant donc ce terme et divisant par x*-1, on pourra écrire

F’. (1 , «) P + F-, (1, a) + l ür„(l ,a) p»+F'^ (l.fl)p-h F.(l ,a)] = 0,

tous les termes omis ayant en dénominateur des puissances de x.

Si l’on fait x = œ , p prendra sa valeur limite b ; tous les ternies ayant x en dénominateur disparaîtront, et il restera

d’où l’on tirera la valeur de b correspondante à la valeur de a que l’on aura choisie.

On voit que pour former l'équation qui donne l’ordonnée à f origine de l’asymptote, il faut prendre la dérivée par rapport à a du premier membre de l’équation qui a servi à déterminer ce coefficient angulaire; multiplier celle dérivée par b; ajouter au produit l'en-

DES ASYMPTOTES RECTILIGNES

semble des termes du degré m — 1 dans lesquels on a remplacé x par 1 et y par a; puis égaler le tout à zéro.