Prenons pour exemple l'équation
y3 + xy2 — 2x’y — xy — *’ + 1 =0.
L'équation [1] devient
o’ + o1— îo=0,
d'où a=0, o=l et a=— 2.
L’équation [2] devient
(3a, + 2o— 2)6 — a— 1=0, d’où 6= 1 —
Pour a=0 on trouve 6 = — 1
ce qui donne les trois asymptotes représentées par les équations
y=—b y=* + î et !/=— 2 x— {.
120. Si a était une racine double de l’équation [1], elle annulerait F’m(l,n); la valeur correspondante de b donnée par l’équation [2] serait donc infinie, et l’asymptote n’existerait pas.
Prenons pour exemple l’équation
y' — îzy, + z‘y—2iy — ï’ + 3=0.
L'équalion [1] devient a 5 — 2a’ + a=0, d’où a=0 et o=lj la seconde racine est une racine double.
L’équation [2] devient
(3o>— 4a + l)b— 2o-l=0, d’où 6=3^r^TfT'
Pour o=0 on trouve {>=1,
0=1 6=oo.
Il n’y a donc qu’une asymptote, dont l’équation est y=l.
121. Si la valeur de a qui annule F„(l,o) et Fm(l ,o) annulait aussi F„,(l,a), l’équation [2] ne donnerait rien. Mais, dans ce cas, on pourrait, en supprimant les termes qui s’annulent ainsi d’euxmémes, diviser seulement par **“* au lieu de æ*"1 ; et en faisant
ensuite x = *> , il resterait pour déterminer b l’équation du second degré
A une même valeur de a correspondraient donc deux valeurs de b; si elles étaient réelles et finies, il en résulterait que la courbe aurait deux asymptotes parallèles à une même direction.
Si les termes de cette équation du second degré en b disparaissaient d’eux-mêmes, il faudrait passer aux suivants, et b serait donné par une équation du troisième degré; et ainsi de suite. Nous ne nous arrêterons pas à donner des exemples de ces cas tout à fait exceptionnels.
122. Lorsque l’on a trouvé pour a une valeur réelle, et que la valeur correspondante de b est réelle et finie, il ne faut pas en conclure d’une manière absolue que l’équation y—ax-{-b représente une asymptote de la courbe ; car cette droite peut faire partie du lieu. On s’eu assure en divisant le premier membre de l’équation de la courbe par y — ax — b.
Soit, par exemple, l’équation y3 — xy5 — 2xy + 2x:=0; on trouve a3 — a!=0, d’où a=0 et a=l;
puis (3a5— 2a)b— 2a+2=0, d’où 6 =-fl,
Pour a=0 on a b — oo
On n’a donc à considérer qu’une équation , y =x. Or, si l’on divise le premier membre de l’équation proposée par y — x, on trouve pour quotient exact y1 — 2x. Le lieu se compose donc de la courbe qui a pour équation y5 — 2x=0, et de la droite y=x.
La méthode qui donne les asymptotes rectilignes devait donner cette droite, puisqu’on peut la cousidérer comme étant elle-même son asymptote.
L’observation que nous venons de faire est particulièrement applicable au cas où le lieu ne se compose que de droites; toutes ces droites sont données par la méthode des asymptotes, qui fournit ainsi un moyen de décomposer le premier membre d’une équation algébrique à deux variables en facleurs du premier degré, toutes les fois que celte décomposition est possible.
DES ASYMPTOTES RECTILIGNES
125. Pour terminer ce que nous avions à dire des asymptotes, il nous reste à faire l'application de la méthode aux courbes du second degré.
L’équation de ces courbes étant
Ay* -(- Bxy + fre* + Dy -f Ex -}- F = 0 , on a, pour déterminer a, l’équation
Aa, + Ba+C = 0 [4],
dont les racines ne sont réelles que si l’on a B* — 4AC>0 ou B* — 4AC = 0.
On a ensuite, pour déterminer b, l’équation
On tire de [4]
(2Aa -j- B) b -j- Da -|- E — O — B ± v/H* — 4 AO .
« = TTi »
et en substituant dans [5], on obtient
D BD — 2AE 2A— 2 A y/B*— 4AC
Dans ces valeurs de a et de b, il faut prendre les signes supérieurs ensemble ou les signes inférieurs ensemble.
I. Si l’on a B’ — 4AC>0, ces valeurs sont réelles et finies; il y a donc, dans ce cas, deux asymptotes ayant pour équations
— B ± y/B* — 4 AC D BD — 2AE
V~ 2 A X 2A"~ 2A^/lJi — 4AC
ou
Bi+D.
:5L(*v/B.-4AC +
BD — 2AE^ y/B* — 4 AC/
Il y a un moyen mnémonique fort simple de retrouver ces équations. Pour cela , l’équation de la courbe étant résolue par rapport à y, on remplace, sous le radical , le terme indépendant de x par un autre qui rende le trinôme en x un carré parfait; on
en extrait la racine carrée et on retombe sur les valeurs de y que fournissent les. équations [6].
Prenons pour exemple l'équation
4y!— foy-t-ir1— 4y + 6z— 4=0;
on en tire y=z + }±|/r3— 2z + 5.
Si , sous le radical , on remplace + 5 par + I , le trinôme devient un carré partait ; et en extrayant sa racine, on obtient
Ce sont les équations des asymptotes. En les séparant on trouve
124. II. Si l’on a B’ — 4AC = 0 , les valeurs de b deviennent infinies, et il n’y a plus d’asymptotes ; on , si l’on veut, il y a encore des asymptotes, mais elles sont situées à des distances infinies.
Remarque. Si l’on avait à la fois B* — 4AC = 0 et BD — 2AE = 0, auquel cas l'équation proposée représente deux parallèles
Bx+D
y'D’ — 4AF,
comme il est facile de s’en assurer en la résolvant par rapport à y, le premier membre de l’équation [5] s’annulerait indépendamment de b, c’est-à-dire qu’on sc trouverait dans le cas où b doit être donné par une équation du second degré (121). Cette équation est ici
Aà’-f Dù-fF = 0, d’où b = — ^ y/D’ — 4 AF.
Par suite, les deux asymptotes ont pour équations
n±iÂ^,-4AF’
et ne sont autre chose que les deux parallèles elles-mêmes représentées par l’équation du secoud degré ; ce qui devait être d’après la remarque du n® 122.
