DES CENTRES

128. On nomme centre d’une courbe un point tel que si par ce point on mène une sécante quelconque à la courbe, elle la ren contre en des points qui sont placés deux à deux à égale distance du point considéré.

i 20. La détermination des centres des courbes est fondée sur le théorème suivant :

Si une courbe a pour centre l’origine des coordonnées , son équation ne change pas quand on y remplace x et y par — x et — y.

En effet , concevons une courbe qui ait pour centre l’origine 0 (fig. 59), et soit M (x, y) un point de cette courbe ; si nous joignons le point M au centre 0, et si nous prolongeons ÜM d’une longueur OM' égale à ellemême, le point M' ainsi obtenu a pour ' coordonnées — x et — y; et comme ce point appartient à la courbe, en vertu de la définition du centre, l’équation F'g. s». de cette courbe devra être vérifiée par

— x et — y; ce qui démontre la première partie du théorème.

Réciproquement, si l’équation d’une courbe ne change pas quand on y remplace x et y par — x et — y, la courbe a pour centre l'origine des coordonnàs.

En effet, supposons que M (x, y) et M’ ( — x, — y) soient deux points de la courbe. Les deux triangles MOP et M'OP' sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun ; par suite, OM' est le prolongement de OM ; de plus, l’origine 0 est le milieu de la corde MM’; et, cette corde étant quelconque par hypothèse, l’origine 0 est un centre de la courbe ; ce qui démontre la seconde partie du théorème.

Corollaire. Pour qu’une courbe algébrique soit rapportée à des axes passant par son centre, il faut et il suffit que son équation ne renferme que des termes de même parité, c’est-à-dire tous de

degré pair ou tous de degré impair. Dans ce dernier cas l’équation ne doit pas avoir de terme constant et le centre se trouve sur la courbe.

127. Quand la courbe n’a pas pour centre l’origine des coordonnées elle peut avoir un centre ailleurs. Pour le déterminer on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en un point indéterminé (x,, y,), et l’on cherche s’il n’existe pas des valeurs de x, et yt telles que la nouvelle équation ne change pas quand on y change x en — x et y en — y. Si on ne trouve aucune valeur de x, et j/i satisfaisant à cette condition, la courbe n’a pas de centre; mais, dans le cas contraire, la courbe a autant de centres qu’il existe de couples de valeurs finies et déterminées de x, , y,. Quand il s’agit des courbes algébriques, on détermine x, et y, en égalant à zéro les coefficients des termes de l’équation transformée qui ne sont pas de même parité que le degré de l’équation.

Remarque. Dans les courbes algébriques qui ont un centre, les asymptotes, s’il y en a, passent toutes par le centre. Car si on prend le centre pour origine, l’ensemble des termes du degré m — 1 est toujours nul, et par suite les ordonnées à l’origine des asymptotes sont toujours égales à zéro (1 10).

128. Soit l’équation de la cosinusoïde y—cosx. En y changeant y en y + y, e

x en x+x,, il vient .

y + yi=cosstcosii — sinxsinav,

et pour que cette équation ne change pas quand on y change les signes de x et de y, il faut que l'on ait

y,=0 et cos j|~0, d’où

La cosinusoïde a donc une infinité de centres situés sur l'axe des x et également espacés.

TitéoaÈMES a néMON'Tnrn. I. Si une courbe a deux centres, elle en a une infinité situés tous sur la ligne droite qui joint ces deux centres, et également espacés sur celte ligne.

II. Si une courbe a trois centres non en ligne droite, elle en a une infinité situés aux intersections de la courbe avec deux systèmes de droites parallèles également espacés.

DES DIAMÈTRES