III. Les courbes algébriques ne peuvent avoir qu'un centre

La démonstration de ce dernier théorème résulte immédiatement des deux premiers, que l’on établit facilement par la Géométrie; mais on peut le démontrer en prouvant que parmi les coefficients de l'équation transformée qu'on doit annuler, il y en a toujours deux qui sont du premier de^ré par rapport aux coordonnées du centre.

§ 4. DES DIAMÈTRES

129. On appelle diamètre d’une courbe le lieu géométrique des milieux de toutes- les cordes parallèles à une môme direction.

Les équations des diamètres d’une courbe du mc degré sent,

en général, du degré — — 1~ — -. En effet, une telle courbe peut

être coupée par une droite en m points, et ces points, combinés

, , , , — 1) , , , ,7 n(m — Il

deux a deux, donnent cordes et par conséquent — — - —

milieux. On voit que les équations des diamètres sont d’un degré plus élevé que celle de la courbe, excepté dans le cas des courbes du second degré, pour lesquelles l’équation des diamètres est toujours du premier degré, et dont les diamètres sont par conséquent des droites.

150. Les équations des diamètres d’une courbe peuvent se déduire de l’équation de la courbe par plusieurs méthodes; nous ne ferons connaître que la plus simple.

Soit f(x,y) = 0 l’équation d’une courbe, et proposons-nous de trouver l’équation du diamètre de cette courbe qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à la direction y = mx. Les droites qui déterminent ces cordes ont pour équation

y = mx-{-n,

n étant un paramètre variable. Considérons l’une de ces droites, et soit JIM’ (lig. 60) l’une des cordes qu’elle détermine.

Si nous transportons l’origine au point O’ (xt, y,), milieu de la corde MM', en remplaçant x parx+Xi et y par y-\-y,, l’équation de la courbe devient

f(x + xt,y+y,)=0 [1];

GÉOM. ANAL. 9

d’ailleurs l’équation de la droite MM', qui passe par la nouvelle origine et qui fait le môme angle avec le nouvel axe des a; qu’avec l’ancien, se réduit à

y = mx [2].

Les nouvelles coordonnées des points M et M' devant être égales et de signes contraires, si nous éliminons y entre les équations [I] et [2], l’équation

f{x -j-x, , mx -f- Xi) = 0

ainsi obtenue, et dont les racines sont les valeurs des abscisses des points d’intersection de la droite MM' avec la courbe, devra avoir deux racines égales et de signes contraires.

Soit f(xlf y,, m)= 0 la relation qui exprime celte condition , entre les coordonnées x, , y, du milieu de la corde et le coefficient angulaire de cette corde ; cette relation, indépendante du paramètre n qui varie seul avec la position de la corde, sera l’équation du diamètre.

Remarque. Au lieu d’exprimer qu’une équation algébrique et entière F(.r) = 0 a deux racines égales et de signes contraires, on peut exprimer que les deux équations F(x) = 0 et F( — x) = 0 ont deux racines communes. Or ces dernières équations reviennent aux suivantes :

' F(x) + F(— x)=0 et F(x) — F(— x) = 0,

dont l’une renferme seulement les termes de degré pair de l’équation proposée et l’autre les termes de degré impair. Celle-ci sera toujours divisible par x.

131. Diamètres rectilignes. Les diamètres rectilignes sont les seuls qu’il importe de considérer dans la discussion des courbes. Four qu'une courbe ait des diamètres rectilignes, il faut qu’il existe des valeurs de m pour lesquelles le premier membre de l’équation générale des diamètres de cette courbe ait des facteurs linéaires; mais la détermination de ces valeurs de m étant généralement impraticable, à cause de la difficulté des calculs, on emploie une autre méthode que nous allons indiquer.

DES DIAMÈTRES

Supposons qu'une courbe ait un diamètre rectiligne. Si l’on prend ce diamètre pour axe des x et pour axe des y une parallèle aux cordes qu’il divise en deux parties égales, à chaque abscisse correspondront deux ordonnées de la courbe égales et de signes contraires, et par suite l’équation de la courbe ne devra pas changer en y remplaçant y par — y. Réciproquement, si l'équation de la courbe ne change pas lorsqu’on y remplace y par — y, l’axe des x est un diamètre qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’axe des y. Cela posé , pour obtenir les diamètres rectilignes d’une courbe représentée par l’équation f(x,y) — 0, on remplacera dans cette équation a; et y par les valeurs (58)

, æ’sin(0 — a) -}-j/’sin (0 — a’) , .T’sina-f-y’sina’

ïïïtô — — ’ y-y>+ — inro — >

et l’on cherchera s’il n’existe pas des valeurs de xt, y, , a et a' (elles que l’équation transformée ne change pas lorsqu’on y remplace y par — y. S’il existe de telles valeurs, la courbe aura des diamètres rectilignes dont on connaîtra un point et la direction. Toutefois, comme la nouvelle origine peut se trouver en un point quelconque du diamètre, les valeurs de et yt devront rester indéterminées; elles seront donc fournies par une relation du premier degré, qui ne sera autre que l’équation du diamètre rectiligne lui-méme.

152. Axes, sommets. Un diamètre rectiligne d’une courbe prend le nom d 'axe lorsqu’il est perpendiculaire aux cordes qu’il divise en deux parties égales. Les extrémités des axes se nomment les sommets de la courbe.

Pour trouver les axes d’une courbe, on pourra donc chercher ses diamètres rectilignes par la méthode précédente, en supposant a' — « = 90°.

155. Diamètres conjugués. Deux diamètres rectilignes d’une courbe sont dits conjugua lorsque chacun d’eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre.

Toute droite parallèle aux cordes qu’un diamètre rectiligne divise en deux parties égales est dite conjuguée à la direction de ce diamètre, et réciproquement.

Lorsqu’une courbe est rapportée à deux diamètres conjugués, son équation ne doit pas varier quand on y change soit le signe de l’une des coordonnées, soit les signes de toutes deux ; et réciproquement, si cette condition est remplie; les axes coordonnés peuvent être appelés des diamètres conjugués de la courbe.

131. Théorèmes a démontrer. I. Lorsque l’équation d'une courbe ne change pas ou si scs termes ne font que changer de signe quand on y remplace x par y et y par x , la bissectrice du premier et du deuxième angle des axes coordonnés est un axe de la courbe.

II. Si Vc'quation ne change pas ou si les termes ne font que changer de signe quand un y remplace x par —y et y par — x, la bissectrice du deuxième et du quatrième angle des ares coordonnés est un axe de la courbe.

III. Une courbe algébrique étant coupée par des sécantes parallèles, si sur chacune de ces sécantes on détermine le centre des moyennes distances des points d'intersection réels ou imaginaires, tous ces centres sont en ligne droite.