AE — BD BE — 2CD
X‘ B* — 4 AG ’ ^ il* — 4AC '
Les équations [2] sont compatibles lorsqu’on a B’ — 4AC^0, c’est-à-dire dans le cas de l’ellipse et de l’hyperbole; elles sont incompatibles lorsqu’on a
B*— 4AC = 0 et 2AE — BD 0 ,
c’est-à-dire dans le cas de la parabole. Donc l’ellipse et l’hyperbole ont un centre et la parabole n’en a pas.
Enfin les équations [2] se réduisent à une seule lorsqu’on a en môme temps
B1 — 4AC = 0 et 2AE — BD = 0 ,
alors il existe une infinité de centres situés sur la droite représentée par l’équation fv' = 0 ou par fj = 0, en y considérant x, et y, comme des coordonnées courantes. Dans ce cas l’équation [1] représente l’ensemble de deux droites parallèles.
Remarque. Quand on regarde x, et y, comme des coordonnées courantes, les équations [3] représentent deux droites. Suivant que ces droites se couperont, se confondront ou seront parallèles,
la courbe représentée par l’équation [1] aura un centre unique, une infinité de centres, ou bien elle n’aura pas de centre.
161. Si l'on prend le centre pour origine, l’équation [2] se réduit à
Ay!+Bxi/-f Cx, + /-(ar„«y,)=0 [4].
Or, si l’on multiplie la première des équations [3] par yu la seconde par xx et que l’on ajoute, on trouve
2At/i’ -j- 2Ba?ij/i -j- 2Cx1,-j-Dt/i -}- E.24 — 0 — 2 f(xtj yt)
d’où l’on lire
— Dy,— ELr,— 2F,
Di/i-fExi
On voit que dans l’équation [4], qui représente toutes les ellipses et toutes les hyperboles rapportées à leur centre, ainsi que les variétés de ces courbes , le ternie indépendant des variables est égal au terme tout connu de l’équation primitive, augmenté de la moitié de l’ensemble des termes du premier degré, dans lesquels on a substitué les coordonnées du centre aux coordonnées courantes. Désignons ce terme par — P ; l'équation [4] prendra la forme
Aÿ’+Bxy + Ca^P.
102. Diamètres. Soit y=mx l’équation de la droite h laquelle les cordes que le diamètre cherché divise en deux parties égales sont parallèles; l’équation de ces cordes est y=nix-\~n, n étant un paramètre variable. Si nous transportons l'origine au milieu l’une d’elles, l’équation de cette corde sera (150)
y = mx,
et l’équation de la courbe deviendra
f(x + xlt y + !/i) = 0,
en appelant xt et y, les coordonnées du milieu de la corde considérée.
ÉQUATIONS BU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 155 En éliminant y enlrc ces deux équations, on obtient l’équation f(x+xltmx+x,)=0,
c’est-à-dire
(Am’-f-Bm-|-C) [mf,' (ai, yt) + fj (Xi,yl)’]x-\-f(xi , 2/0 = 0 [5],
dont les racines sont les abscisses des extrémités de la corde. Or, ces deux abscisses devant être égales et de signes contraires, il faut que l’on ait
w/i' fo, »/,) + ù' (x„ y,) — 0 [6]:
telle est l’équation du diamètre cherché, dans laquelle ar, et */i désignent des coordonnées courantes. En supprimant les indices, elle revient à la suivante
(2Ay 4- Bx -)- D) ni -f- By -f + E = O,
ou en ordonnant
(2 A ni -j- B) 2/,-f- (Bm-f- 2C)a? -f* Dm -j- E — O [7 J.
Les coefficients de x et y de cette dernière équation sont les dérivées fj et des termes du second degré de l’équation de la courbe, dans lesquelles on remplace x par 1, y par m, et le terme constant est l’ensemble des termes du premier degré, dans lequel on a opéré la même substitution.
163. Dans l'ellipse et dans F hyperbole tous les diamètres passent par le centre , et dans la parabole ils sont tous parallèles.
En effet, l’équation [6] est vérifiée, quel que soit m, par les valeurs de x et de y , qui satisfont aux équations = 0, fî — 0, c’est-à-dire par les coordonnées du centre; donc tous les diamètres de l’ellipse et de l’hyperbole passent par le centre.
Le centre étant situé à l’infini dans la parabole, on prévoit que ccs diamètres sont parallèles. Et, en effet, le coefficient angulaire du diamètre [7] est
Bm -{- 2C ~ 2Am+B‘
Or, comme dans le cas de la parabole on a B*— 4AC = 0, d’où
Tît
2G=2^, on trouve, en substituant et réduisant,
Bm + 2C B 2Am -f-B 2A ’
valeur indépendante de m, ce qui démontre la seconde partie du théorème.
164. Réciproquement, dansVellipsect il ans l'hyperbole, toute droite passant par le centre est un diamètre de la courbe (excepté dans l’hyperbole lorsque la droite dont il s'agit coïncide avec l’une des asymptotes).
En effet , le centre de l’ellipse ou celui de l’hyperbole étant déterminé par l'intersection des deux droites représentées par les équations f,’=0, f*= 0, l’équation générale des droites passant par le centre de ces courbes est (73)
mf,'+fm’ = 0 [8],
équation du diamètre conjugué aux dordes dont le coefficient angulaire serait égal à m ; or, si nous nous reportons à l’équation [5], nous voyons que pour qu’une droite y =mx détermine une cordc, ou pour qu’elle coupc la courbe en deux points, il faut que l’on ait
Am* -f Bm-f C^O.
Car si l’on avait Am* -j- Bm + C = 0 [9],
la droite en question ne couperait la courbe qu’en un point et la courbe n’aurait pas de cordes parallèles à celte droite. Cela posé, l’équation [9] n’est jamais vérifiée dans le cas de l’ellipse; donc déjà toutes les droites passant parle centre de l’ellipse sont des diamètres.
Dans le cas de l’hyperbole , les racines de l’équation [9] sont précisément les coefficients angulaires des asymptotes (125); d’où il suit que les parallèles aux asymptotes ne coupent l'hyperbole qu’en un point. D'ailleurs, pour ces valeurs de m , l’équation [8] 'représente les asymptotes elles-mêmes, ce qui complète la démonstration du théorème.
163. La tangente, menée à la courbe par l'extrémité d'un diamètre, est parallèle aux cordes que ce diamètre divise en deux parties égales.
En effet, le coefficient angulaire de la tangente est — j-,, et le
coefficient angulaire m des cordes conjuguées au diamètre repré-
senté par l’équation [6] est aussi égal à — j-,. Donc ces deux coefficients sont égaux pour les mômes valeurs de x et y y ce qui démontre le théorème.
166. Diamètres conjugues. Dans Vellipse et dans V hyperbole, chaque diamètre a son conjugué.
Soit m' le coefficient angulaire d’un diamètre, et m celui des cordes qu’il divise en deux parties égales; on a
m> — Km+2G 2A»i + B’
ou 2Amm'-j-B(m+m')4-2G = 0 [10].
Cette relation étant symétrique par rapport à ni et à m', il en résulte que m est le coefficient angulaire du diamètre conjugué aux cordes qui ont pour coefficient angulaire m’. Les valeurs de m et m’qui vérifient la relation [10] sont donc les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués, puisque chacun de ces diamètres diviserait en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre. Or, cette relation étant du premier degré, à toute valeur réelle de m correspondra une valeur réelle de m', ce qui démontre le théorème énoncé.
Dans le cas de l’ellipse, on pourra donner à m une valeur quelconque, et on aura une valeur correspondante pour m'; mais dans le cas de l’hyperbole, on ne pourra pas donner à m les valeurs qui déterminent la direction des asymptotes.
167. Axe>. Pour que le diamètre représenté par l’équation [7] soit perpendiculaire aux cordes qu’il divise en deux parties égales, il faut, en supposant les axes rectangulaires, que l’on ait (73)
ou
Bm -f- 2C ,
— m — S— — 1, 2Am -|- B
, 2 (A — C) , A m* i-jj — -m — 1 = 0
On en tire
Ces racines sont réelles et leur produit est égal à — 1 ; donc les directions qu’elles déterminent sont perpendiculaires, et, par suite, s’il existe des cordes parallèles à ces directions, la courbe représentée par l’équation [l] aura deux axes perpendiculaires entre eux; or, si nous substituons ces racines dans l’équation [9], qui détermine les directions des droites qui ne coupent la courbe qu’en un seul point, nous trouverons lt* — 4AC=0, égalité qui n’a jamais lieu dans le cas de l’ellipse et de l’hyperbole; donc l’ellipse et l’hyperbole ont chacune deux axes perpendiculaires entre eux.
L’équation [9] étant vérifiée par les racines de le |uation [11], dans le cas de la parabole, il semble que la parabole n’a pas d’axes; mais si avant d’opérer la substitution on réduit les racines de l’équation [11], en ayant égard à la relation B’— 4AC=0, il vient 2A , 2G
= clm" = — -jp et on trouve que m" vérifie seule l’équation [9]; ainsi, dans la parabole, il n’existe qu’un seul système de cordes perpendiculaires au diamètre correspondant; donc cette courbe n’a qu’un axe. Le coefficient angulaire de ces cordes 2 V
étant le coefficient angulaire de l’axe correspondant
est — ce qui devait être (105).
iOB. Ce qui précède suppose que l’on a B^O. Supposons B = 0 et A^C, auquel cas l’équation [1] représente une ellipse ou une hyperbole. Les racines de l’équation [11] sont alors n»' = 0, elles déterminent deux directions parallèles aux
axes coordonnés, et comme elles ne vérifient pas l’équation [9], il en résulte que dans le cas de l’ellipse cl de l’hyperbole, lorsque l'équntion ne renferme pas le rectangle xy des variables, les axes de la courbe sont parallèles aux axes coordonnés.
Dans le cas de la parabole, lorsque B = 0, comme B’ — 4AC = 0, il faut que l’on ait en même temps A = 0 ouC = 0; il en résulte que l’axe de la parabole est alors parallèle à l’axe des x lorsque
C = 0 et parallèle à l’axe des y lorsque A = 0, c’est-à-dire parallèle à l'axe de même nom que la variable dont le carré manque.
Enfin, si l’on avait B = 0ctA = C, les racines de l’équation [11] seraient indéterminées, et il y aurait une infinité d’axes, ce qu’on pouvait prévoir, puisque dans ce cas l’équation [1] représente ain cercle.
IGD. Résumé. L’ellipse et l’hyperbole ont un centre, et la parabole n’en a pas.
L’ellipse et l’hyperbole ont deux axes perpendiculaires entre eux, et la parabole n’a qu’un seul axe.
Enfin , lorsque le rectangle des variables manque dans l’équation d’une ellipse ou d’une hyperbole les axes de la courbe sont parallèles aux axes coordonnés ; et dans le cas de la parabole l’axe de celle courbe est parallèle à l’un des axes coordonnés.
§ 3. RÉDUCTION DE L’ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ A LA FORME LA PLUS SIMPLE PAR LE CHANGEMENT DE COORDONNÉES.
170. Ce que nous venons d’établir dans le paragraphe précédent fait entrevoir la possibilité de réduire l’équation générale du second degré à deux variables à des formes plus simples, et permet même d’indiquer pour chacune des trois courbes la forme de l’équation réduite.
En effet, l’ellipse et l'hyperbole ont deux axes passant par le centre. Donc, si l’on prend ces axes pour axes des coordonnées , les équations de ces courbes ne devront pas changer lorsqu’on y changera le signe de l’une des coordonnées ou les signes de toutes deux; elles seront donc de la forme
My,+ Nx* = P [1].
Si l'on prend l’axe de la parabole pour axe des x et la tangente au sommet pour axe des y, la courbe étant alors symétrique par rapport à l’axe des x et passant par l’origine, son équation sera de la forme
My,+ P* = 0 [2].
Remarque. L’équation générale du second degré, dans le cas de l’ellipse et de l’hyperbole, peuf, d’une infinité de manières, se
ramener à la forme [1], en prenant pour axes coordonnés deux diamètres conjugués quelconques. Elle peut aussi, dans le cas de la parabole, se ramener d’une infinité de manières à la forme [2], en prenant pour axe des x un diamètre quelconque, et pour axe des y la tangente menée par l’extrémité de ce diamètre.
171. Réduction de l'équation générale dans le cas de l'ellipse
et de l'hyperbole. Pour effectuer celte réduction, on commence par rapporter la courbe à son centre; les termes du premier degré disparaissent et l’équation se réduit à
Aj/‘-f Bxy-f Cæ* = P [3],
P ayant une valeur facilejà calculer par la règle donnée au n° 101.
172. Pour faire disparaître ensuite le rectangle xy des variables, on prend pour nouveaux axes coordonnés les axes mêmes de la courbe. On peut toujours supposer que les axes coordonnés actuels soient rectangulaires : car s'ils étaient obliques, on pourrait commencer par rapporter la courbe à des axes rectangulaires, ce qui ne changerait pas la forme de l'équation [3]. Cela posé, substituons dans celle dernière équation, à la place de x et y, les valeurs données par les formules
x=x'cosa — y'sina, y=x' s\na-\-y' cosa [4],
qui servent à passer d’un système d’axes rectangulaires à un autre système d’axes rectangulaires; il viendra, en supprimant les accents des nouvelles variables,
Acos’a y’ + 2Asinacosa ly + Asin’a *>=P
— Bsinacosa -fBcos’a -fBsinacosa [5].
-t-Csin’a — Bsin’a -pCcos’a
— îCsinacoso
On peut disposer de a de manière à faire disparaître le terme en xy : pour cela il faut poser
2Asin a cos a -j- B cos 'a — Bsin’a — 2C sin a cos a = 0, ou (A— C)sin2a+Bcos2a = 0; d’où tang2a =—
ÉQUATIONS DU SECOND DEGRE A DEUX VARIABLES. 161 A cette tangente correspondent les arcs
2a, îi-j-it, 2a-j-2ir, 2a-j-37c, etc.;
et, en en prenant la moitié, on aura pour a les valeurs
a, a + £ir, a-f-ir, a + .»?:, etc. ,
qui ne donneront réellement qu’un seul système d’axes; mais on pourra prendre l'un ou l’autre pour l’axe des x, et compter, sur chacun d’eux, les coordonnées positives dans un sens ou dans le sens contraire.
Connaissant a, on pourra calculer sina et cosa, et substituer ces valeurs dans l’équation [5]. Mais les coefficients de y* et de z* pourront s’obtenir d’une manière simple. En les nommant M et N, on a en effet
M == A cos’a — B sin a cos a -f- C sin’a,
N = Asin*a + B sina cosa -}-C cos ’a.
On en lire M+N = A+C
et M — N=(A— C)cos2a — Bsin2a [6].
On a d’ailleurs 0=(A — C) sin 2a -f Beos 2a [7].
Ajoutant membre à membre les carrés des deux dernières équations, on obtient
(M— N)’=(A— C)’ + B*, d’où M — S = ±;y/(A — C)* + B*.
Si l’on convient de prendre pour 2» le plus petit arc positif qui
correspond à la tangente j le radical devra être pris avec A — ti
un signe contraire à celui de B. En effet, en éliminant cos 2a entre les équations [6] et [7], l’équation [6] peut s’écrire ainsi :
M N sin2«f(A-C)»+B,l
GÉOH. ANAL. 1 1
Or, sin2a est toujours positif, ainsi que la quantité entre parenthèses; donc M — N et B sont de signe contraire.
Connaissant et M — N, on en déduira immédiatement
M et N; ces valeurs seront toujours réelles; la transformation dont il s’agit sera donc toujours possible, et l’équation se trouvera ramenée à la forme
My*-|-Nz»=P . [8],
comme nous l’avions annoncé.
<75. Soit l’équation
y'-2xy + 3x'— 2y + 'ix — 5=0,
qui représente une ligne du genre ellipse. Les coordonnées du centre sont données par les équations
Vi— *1=1, — y, + 3Xi = — 2.
on en lire y, = -et x, = — etparsuiteP = 5-(-yl-t-2:ri=y. On a d'ailleurs
M+N=l + 3=4,etM— N=/(l— 2i!=av,2;d'oùM=2 + VÎetN=2— v'ï-
L’équation simplifiée de l’ellipse représentée par l'équation proposée est donc
Nous avons, conformément à la règle donnée ci-dessus, pris le radical avec le signe + parce que le coefficient de xy est négatif.
174. La règle qui sert à reconnaître les ellipses et les hyperboles peut être appliquée directement à l’équation [8]. Mais il n’est peut-être pas inutile de faire voir que non-seulement la quantité B’ — 4 A G 11’a pas changé de signe par la transformation qui a été effectuée, comme on devait s’y attendre, mais encore que celte quantité a conservé sa valeur numérique. En effet, on a
4.MN = (M + N)*— (M -N)’ = (A-fC)* — (A — C)* — B‘ = 4AC - B* ;
p tr conséquent, 0 — 4MN = B' — 4AC.
M et N seront donc de même signe ou de signes contraires, suivant que l’équation proposée représentera une ellipse ou une hyperbole.
