I. Équation simplifiée de l'ellipse. Dans le premier cas, on

pourra toujours faire en sorte, en changeant tous les signes au besoin, que M et N soient positifs.

Si P est positif, on pourra pospr

P 6* Ct P~ a*’

et en divisant l’équation par P, elle prendra la forme

Dans le cas où l’on aurait a = b , celte équation représenterait un cercle.

Si P est négatif, l’équation [8] n’adincttra aucun système de valeurs réelles pour a; et y; et elle représentera une ellipse imaginaire.

Si P = 0, l’équation ne sera satisfaite que par .r = 0 et i/ = 0, et représentera par conséquent un point : l’origine (nouvelle) des coordonnées.

II. Équation simplifiée de l'liyperbole. Dans le SCCOild CBS , on pourra toujours faire en sorte que M soit positif. Alors, si P est négatif, on pourra poser

p— bi ct p— a»>

et, en divisant l’équation [8] par P, et supprimant les accents, ou obtiendra

^yl — i

Pour i = 0, ona y imaginaire, et pour y = 0, on a x = ±a; .ainsi, dans ce cas, l'hyperbole rencontre l’axe des x, mais ne rencontre pas l’axe des y.

Si P est positif, on pourra poser

p— 6* Cl p — —?’

1 64 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, et, en divisant l’équation [8] par P, on obtiendra

Pour x = 0, y est = ± b, et pour y = 0, a; est imaginaire ; ainsi , dans ce cas , l’hyperbole rencontre l’axe des y, mais ne rencontre pas l’axe des x.

Si P = 0, on tire de l’équation [8]

y — — x fj no-

vateurs réelles, puisque M et N sont de signe contraire; l’équation [8] représente donc alors deux droites qui se coupent à l’origine des coordonnées.

!7iS. Uni union dans le cas de la parabole. La parabole n’ayant pas de centre, on ne peut pas faire disparaître tes termes du premier degré, mais on peut faire disparaître le rectangle xy. A cet effet, substituons, dans l’équation générale, à la place de x et y, tes valeurs [4], n° 172 ; en supprimant tes accents des nouvelles variables et en employant tes mêmes notations qu’au n° 172, celte équation deviendra

Mj/’+Na^-f (D cos <* — E sin a)y-|-(D sin a + Ecos a)x-]-F = 0 [13J, et nous aurons comme, plus haut,

M-fN=A+C, M — N=±V/(A — C),-j-B’

et tangSa^rr-^?.

Mais dans 1e cas de la parabole, on a B1 — 4AC = 0, d’où B*=4AC, et, par suite,

M — N = ±v'(A — C)* + 4AC = ± (A + C),

d’ailleurs, M+N=A-f-C;

donc l’un des coefficients M ou N doit être nul, et l’autre égal à A + C. Ainsi, dans 1c cas de la parabole, l’un des carrés disparait en même temps que 1c rectangle des variables, ce qu’on pouvait

prévoir : car puisque B’— 4AC = 0, siB=0, il faut que l'on ait en môme temps A = 0 ou C = 0. Supposons B<0, auquel cas il faut prendre le signe + devant le radical; on a N = 0 et M = A-f-C. Si nous posons

D cos a — E sin a = D' et D sin a-j-E cos a== E', l’équation [13] se réduira à

My*-f-D'y + E'x-f-F = 0 [14].

Celle-ci pourra représenter toutes les paraboles dont les axes sont parallèles au nouvel axe des x.

170. Si nous transportons maintenant l’origine en un point indéterminé (x,, y,), en remplaçant dans l’équation [14] x par * + x, et y par y + y,, il viendra

My’-f 2My, l y-f E'x+My,*\

+ E'xi ~0’

et si l’on prend pour x, et yt les racines des équations

d’où

2My, + D' = 0, My.*+D'y,-|-E'*l + F=0,