CHAPITRE VII
§ 1. centre; axes; ordonnées; foters et directrices.
179. Centre i axes. Où a vu, au n° 174, que l’équation de l’ellipse , sous la forme la plus simple, est
les axes étant rectangulaires.
Celte équation ne change pas quand on y remplace a; et y par — a: et — y; or la droite, qui va du point (x, y) au point ( — x, — y), passe par l’origine (70, IY) ; de plus, elle y est divisée en deux parties égales, car la distance de chacun de ces points à l’origine (7, II) est y*. Toute corde passant par Toriginey est donc divisée en deux parties égales. Ce point est par conséquent le centre de la courbe.
A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signe contraire : il en résulte que toute corde parallèle à Taxe des y est divisée en deux parties égales par Taxe des x. On verrait de même que toute corde parallèle à Taxe des x est divisée en deux parties égales par Taxe des y. Les axes coordonnés, étant d’ailleurs rectangulaires, sont des axes de symétrie de la courbe; ce sont donc les axes de la courbe ; et l’on dit que l’équation [1] représente une ellipse rapportée à son centre et à ses axes. D’après ce qui vient d’être dit, il est facile de voir qu’elle se compose de quatre parties superposables.
Pour y = 0 on a x=±a, et pour x =0 on a y=±b. Les distances a et b de l’origine aux points où la courbe rencontre ses axes sont ce que l’on appelle les longueurs des demi-axes de la courbe. Les axes entiers ont pour longueur 2a et 2 b.
On tire de l’équation [1]
Si l’on fait crotlrc x depuis O jusqu’à a, on voit que la valeur de y décroît depuis b jusqu'à 0. La courbe a donc la forme indiquée par la figure 73.
Les points A, A’, B, B', où elle rencontre ses axes, se nomment
lo x
les sommets de la courbe.
Les demi-axes a et b étant inégaux , puisque autrement la courbe serait un cercle (174), nous supposerons a le plus grand; la distance AA' sera alors le' grand axe de l’ellipse ; BB' en sera le petit axe.
Fig. «. ICO. On peut calculer les
coordonnées d’autant de points de la courbe qu’on voudra, sans avoir aucune racine à extraire.
Pour cela, il suffit de poser
x—àz a .
et
formules qui vérifient l’équation [1] indépendamment de t.
En y faisant croître t de 0 à I , x variera de a à 0 et y de 0 à à. Dans le cas où l’ellipse serait un cercle de rayon r, les formules seraient
et
= dzr
181. Théorème. Les ordonnées perpendiculaires au grand axe sont
aux ordonnées correspondantes du cercle décrit sur cet axe comme diamètre, dans le rapport du petit axe au grand.
Soient ABA' (fig. 74) l’ellipse considérée, et ACA' le cercle décrit sur le grand axe A.V comme diamètre.
L’équation de ce cercle est
Y»+aP=«* [3],
d’où
Si l’on compare celte valeur à l’ordonnée de l’ellipse donnée par l’équation [2], on trouve entre les valeurs absolues de ces ordonnées la relation
Remarques. I. Si l’on décrivait un cercle sur le petit axe comme diamètre , on verrait de même que les abscisses de l’ellipse sont aux abscisses du cercle qui correspondent aux mêmes ordonnées comme le grand axe est au petit.
II. Celte propriété fournit un moyen commode de construire l’ellipse par points. Il suffit pour cela de décrire un cercle sur le grand axe donné ; de mener les ordonnées NP, N'P', etc., du cercle, et de les diminuer dans le rapport de b à a; les points M, M', etc., ainsi obtenus sont des points de l’ellipse. On en pourra construire ainsi autant qu’on le voudra ; il ne restera plus qu’à faire passer une courbe continue par les points obtenus.
182. Théorème. Les carrés des ordonnées perpendiculaires à l'un des axes sont entre eux comme les produits des segments correspondants formés sitr cet axe.
On a dans le cercle ACA'
d’où
NP* = AP. AP et N’P'* = AP'.A’F; NP* AP.A'P
NP’’ AP'.A’P' Mais, en vertu du théorème précédent,
MP’MJ^ d,où MP* __ NP* NP* — fTF* FF’ PTF1
Donc, à cause du rapport commun ===-t ,
