MP* AP . A P

jjfp'' AP’.A'P'*

ce qu’il s’agissait de démontrer.

On le démontre aussi très-facilement à l’aide de l'équation de l’ellipse, car si y et y' sont, les ordonnées MP et M'P' correspondantes aux abscisses x et x' (ou OP cl OP'), on aura

y* = £(«*-**) et y’> =£(*•-*'•);

Or, a— æ=AP, a-fa;=A'P, a — æ’= AP', a+a^= A'P'. Donc, etc.

It$3. Foyers. On a vu, au n

II, que la courbe qui jouit de cette propriété que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes est constante, est une ellipse. Nous allons faire voir que toute ellipse jouit de cette même propriété.

Prenons sur le grand axe de l’ellipse deux points F, F' (tig. 75) situés de part et d’autre du cen-

Fie ”• tre, à une distance c = \Ja * — ê*.

Soit M un point de l’ellipse répondant ù une abscisse positive; joignons MF et MF'. Nous aurons

MF* = j/’-j-(c — x)' — ^ (a* — x?) -{- (c — x)'

= 6* -f- c’ ~ 2 ea; ^ = — 2 cx-\-^-=(a — ;

d’où MF=a — — ; [4]

attendu que x étant tout au plus égal à o, et c étant moindre ex

que a, le terme — est moindre que a.

On aura de même :

MF" = y' (c x)' =~ (a* — a^)-f-(c4- x)1 = b'+ c* 4- arx+Æ1 ( l — o’+ 2 CX + c-£r = (« -f ,

d'où MF' = a+^. [5]

Ajoutant [4] et [5] membre à membre, on obtient MF -f MF' = 2a,

quantité constante ; ce qui démontre la propriété énoncée pour la portion dé l’ellipse située à droite de l’axe des y. En vertu de la symétrie, celte propriété a lieu pour les trois autres portions de l’ellipse.

Les points F et F' se nomment les foyers de l’ellipse (ils doivent ce notn à des considérations empruntées à la physique). Les distances MF et MF' se nomment les rayons vecteurs du point M (ces noms sont empruntés à l’astronomie). La propriété que l’on vient de démontrer peut donc s’énoncer en disant que : dans Ï ellipse, la somme des rayons vecteurs est égale au grand axe.

Remarques. I. Celle propriété n’appartient qu’aux points de l’ellipse. Car soit, d’abord, M’ un point extérieur à la courbe; si nous menons M'F, MT qui rencontrera l’ellipse en un point M, puis FM, nous aurons