Directrices

Soit DL (fig. 76) une droite perpendiculaire au grand axe, et distante du centre d’une longueur OD = d. D’un point quelconque M de l’ellipse, abaissons sur DL la perpendicu-

laire MG, et joignons MF. On a trouvé plus haut

MF = a— — , a

PROPRIÉTÉS PRINCIPALES DE L’ELLIPSE, et il est facile de voir qu’on aura

Par suite

ex

MF a a * MG cl — x

Il est possible de déterminer d de manière que ce rapport soit constant. Désignons en effet par k la valeur de ce rapport , et posons

ex

- — — = k, d’où (k — -)x-J-a — dk = 0.

Pour que k soit constant, il faut que cette relation ait lieu indépendamment de toute valeur particulière attribuée à x, ce qui exige qu’on ait séparément

k-- — 0 et a—dk — 0,

dou k — — et a = 7 =— ;

ainsi la distance d est une 3e proportionnelle à la demi-excentricité et au demi-grand axe ; et le rapport des distances MK et MG est celui de l’excentricité au grand axe.

Pour le second foyer P, on trouverait de même une droite D’L’ jouissant de la même propriété.

Les droites DL et D'L' se nomment les directrices de l’ellipse. La propriété qu’on vient de démontrer peut alors s’énoncer en disant que : les distances d'un même point de l’ellipse au foyer et à la directrice correspondante sont entre elles comme l’excentricité est au grand axe.

Remarques. I. Pour construire l’une des directrices, DL par exemple, prenez OH = a, joignez HF', et menez IID perpendiculaire à HF'. On aura, en effet,