TANGENTS ET NORMALE

18îS. D'après ce qu’on a vu au n° iül, le coefficient angulaire de la tangente à l’ellipse, au point (x', y'), a pour valeur

Considérons la portion de la courbe qui est comprise dans l'angle YOX. Lorsque xf croît de 0 à a, y' décrott de 6 à 0; par cette double raison, la valeur absolue de m augmente; donc »n décroît algébriquement. lien résulte (IOO) que, dans l'intervalle considéré, la courbe tourne sa concavité vers les y négatifs; et comme elle est symétrique par rapport aux deux axes, ou peut dire que dans tout son cours elle tourne sa concavité vers le centre.

Au sommet du petit axe on a x' = 0 et y' = 6; par suite m = 0; la tangente en ce point est donc parallèle au grand axe. Au sommet du grand axe on a x1 — a et y' = 0 ; par suite m — œ ; la tangente en ce point est donc perpendiculaire au grand axe.

100. L’équation de la tangente à l’ellipse, au point ( x ', i f), est, d’après ce qui précède (101),

équation à laquelle il faut joindre la relation qui exprime que le point est sur la courbe, savoir :

On peut mettre l’équation [2] sous la forme a* ^ b' a' ' b* ’

Par conséquent, en vertu de l’équation [3], on peut écrire

telle est l’équation de la tangente.

Remarque. Dans le cas du cercle, en nommant r le rayon , on a a = b = r; par conséquent, l’équation de la tangente devient

xx' , yy' il,,

7T + ^r = l ou xx+yyz=i\

comme on Ta vu au n° 93.

107. Problèmes. I. Mener une tangente à l’ellipse par un point extérieur (x", y").

L’équation [4] est encore l’équation de la tangente ; mais il s’agit de déterminer les coordonnées x' et y' du point de contact.

Pour cela, on observe que ce point étant sur l’ellipse, ses coordonnées satisfont à l’équation de la courbe, et qu’on a

En second lieu, le point donné étant situé sur la tangente, ses coordonnées satisfont à l'équation [4] ; ainsi on a

vY .

Ces deux équations serviront à déterminer x' et y'. En éliminant l’une de ces inconnues, on obtient l’autre par une équation du second degré ; ce qui montre que, par un point donné, passent, en général, deux tangentes à l’ellipse. On pourrait vérifier que les deux solutions sont réelles ou imaginaires suivant que le point donné est extérieur ou intérieur à l’ellipse ; et qu’elles se réduisent à une seule quand ce point est sur l’ellipse môme. Mais ces vérifications, auxquelles on peut s’attendre, sont, par cela même, dépourvues d’intérêt.

Il vaut mieux remarquer que si, dans les deux équations pré-

cédentes, on regarde x' et y' comme des variables, ces équations représenteront deux lieux géométriques dont les points d’intersection seront les points de contact cherchés. Or, le premier lieu n’est autre que l’ellipse donnée elle-même, et le second lieu est une droite ; cette droite est donc celle qui réunit les deux points de contact demandés ; on lui donne, pour celte raison, le nom de corde des contacts. Il est facile de la constmire d’après son équation, car elle a pour coordonnées, à l’origine,