II. Mener une tangente parallèle à une droite donnée

Si le coefficient angulaire de la droite donnée est m, on a pour déterminer x' et ÿ les relations

fcV . y'* , x'1 ,

m = — et tï + -î=1;

d’où l’on lire les valeurs de a:’ et y' qui, substituées dans l’équation [4], donnent

y = mx ± y/abu’ -|- b'.

Ainsi il y a toujours deux tangentes qui satisfont à la question.

Remarques. I. On trouve pour x' et y' deux couples de valeurs, qui sont égales et de signe contraire. Il en résulte que les deux points de contact sont aux extrémités d’une même droite passant par le centre de la courbe.

II. Dans le cas du cercle, les équations des deux tangentes deviennent :

y = mx ± r v,«i* -f- 1 ,

conformément à ce qu’on a vu au n° 01.

188. Cherchons le point où la tangente rencontre l’un des axes

coordonnés , l’axe des x par exemple. Pour cela , il faut faire y = 0 dans l'équation de la tangente, ce qui donne

Fig. 77.

quantité facile à construire. Mais ce qu’elle offre de plus remarquable, c’est qu’elle est indépendante de b, c’està-dire que si l’on décrivait sur le même axe AA' (fig. 77) différentes ellipses ABA', ACA', AB' A', etc., et que, par les points M, N, M', etc., qui répondent à la môme abscisse x', on leur menât des tangentes, elles iraient toutes rencontrer l’axe des abscisses au môme point I.

De là un moyen facile de construire la tangente à l’ellipse patun point M donné sur cette courbe. En effet, parmi les diverses ellipses qu’on peut décrire sur l’axe AA', se trouve le cercle ACA' qui a a pour rayon: Si donc on mène l’ordonnée MP, qui, prolongée, rencontre la circonférence ACA' en N, et que par ce point X on mène la tangente NI à cette circonférence, ce point I sera aussi le point de rencontre de l’axe OX avec la tangente en M à l’ellipse ; et pour obtenir cette tangente, il suffira de joindre MF.

Au lieu de se servir du point de rencontre de la tangente avec l’axe des a-, on pourrait employer le point de rencontre avec l’axe des y ; la construction se ferait de la môme manière, à l’aide de la circonférence décrite snr le petit axe comme diamètre.

189. La môme propriété fournit le moyen de mener une tangente à l’ellipse par un point extérieur H. Car soient IM et IN les tangentes à l’ellipse et au cercle de rayon a. Menons l’ordonnée IIR, qui, prolongée, renconlre en K la tangente au cercle. Comme les droites IP, IM, IN coupent proportionnellement les parallèles KI1R et NMP, on a

HR MP b

KIÏ N P — a’

GÉOM. ANAL. 12

Dès lors, si l’on prend sur le grand axe la longueur HQ égale à b, et la longueur RL égale à a, si l’on joint QH et qu’on lui mène la parallèle LK, le point R où cette parallèle rencontrera RH appartiendra à la tangente au cercle. En effet,

HR RQ 6 KR — RL ~ a

Donc, si l’on mène par le point K la tangente au cercle, le point I où elle rencontre l’axe OX appartiendra à la tangente à l’ellipse ; ainsi, pour obtenir cette dernière, il suffira donc de joindre in. Le point M où IH rencontrera l’ordonnée NP du cercle sera le point de contact sur l'ellipse.

ISO. Normale. On a vu que la normale à une courbe est la perpendiculaire à la tangente, menée par le point de contact.

Si le coefficient angulaire de la tangente est m, celui de la normale sera donc — - (78), les axes étant rectangulaires.

D’après cela, le coefficient angulaire de la tangente à l’ellipse étant

~<ëÿ”

celui de la normale est

oy b'x "

et l’équation de la normale est par conséquent

Rimàrqtjb. Dans le cas du cercle, on a a =b, et l’équation de la normale se réduit à

y — y1 = J. {X—X1) ou y = ^ x.

On reconnaît qu’elle passe par le centre, qui est l’origine des coordonnées.

191. Le point où la normale rencontre l’axe des x s’obtient en faisant, dans son équation, y = 0 ; ce qui donne

urm

Cette distance est nulle pour x' = 0, c’est-à-dire pour les sommets du petit axe ; et elle atteint sa plus grande valeur pour x' = ± a

ce qui donne x=± La distance x approche d’autant plus de

la valeur - que le point de contact approche plus des sommets du grand axe.

Il existe une limite analogue pour le point de rencontre de la normale avec l’axe des y ; l’ordonnée de ce point approche d’au-

tant plus de ± - que le point de contact approche plus des sommets du petit axe.

Dans l’hypothèse a>6, les quantités - et sont positives ; la

première est moindre que a, la seconde peut prendre une valeur quelconque. Ainsi la normale rencontre le grand axe dans l’intérieur de l’ellipse ; mais elle peut rencontrer le petit axe hors de la courbe.

192. Théorème. La normale à l'ellipse divise en deux parties égales l’angle des rayons vecteurs.

Soit WN (fig. 78) la normale au point M, et soient MP et MF' les rayons vecteurs du point M.

Il s’agit de démontrer la proportion

NF MF NF' “ MF"

Or, d’après ce qu’on vient de voir, on a ON = en appelant x

l’abscisse du point M. II en résulte

NF = c

c'x e(o* — ex)

d’où