NP . MF

Les rapporls et ^ sont donc égaux ; la droite MN est doncla bissectrice de l’angle FMF' formé par les rayons vecteurs.

195. Il en résulte que les angles TMF et T’MF' que la tangente TT' fait avec les rayons vecteurs sont égaux.

Cette propriété fournit de nouveaux moyens de mener la tangente à l’ellipse par un point donné.

Supposons d’abord le point donné en M sur la courbe. On mènera les rayons vecteurs MF et MF’ ; on prolongera FM d’une quantité MH égale à MF, et l’on joindra HF; puis on abaissera MT perpendiculaire sur HF; la ligne TT' ainsi obtenue sera la tangente demandée. Caron aura, par construction, IMF=IMH, et JMH = F'MT' comme opposés aux sommets ; donc IMF = F'MT’ ; donc TT' est une tangente.

194. Supposons en second lieu que le point soit donné en P hors de la courbe. Du point P comme centre, avec un rayon égal à la distance PF, on décrira un arc de cercle ; du point F' comme centre, avec un rayon égal au grand axe, ou 2a, on décrira un second arc de cercle, qui coupera le premier en un point H; on joindra FH, et du point P on abaissera sur FH la perpendiculaire PI qui sera la tangente demandée. En joignant F'H on aura le point de contact M.

La construction sera toujours possible si le point P est extérieur à l’ellipse. Pour le démontrer, il faut faire voir que les arcs de cercle décrits de P et de F' comme centres avec les rayons respectifs PF et 2a se rencontreront. Or, si l’on joint PF’, on aura d’abord

PF’«<PF+FF', et à plus forte raison <PF-}-2a,

donc la distance des centres est moindre que la somme des rayons. En second lieu, le point P étant extérieur à la courbe, on a (105, rem. I)

PF’-fPF>2a [1].

Mais dans le triangle FPF' on a aussi

PF' + FF'>FP, et à plus forte raison PF'-|-2a>FP [2].

Si FP est moindre que 2a, on tire de l’inégalité [1]

PF’>2a — FP.

Si FP est plus grand que 2a, on tire de l’inégalité [2]

PF’>FP— 2a.

Donc, dans tous les cas, la distance des centres sera plus grande que la différence des rayons ; donc les deux cercles se couperont.

Remarques. I. Ils auront deux points communs; ainsi il y aura deux positions pour le point H, et par suite deux tangentes.

II. Si l’on joint 01, cette ligne unissant le milieu de FF' au milieu de Fil est la moitié de F'H ; donc 01 = a. De là ce théorème : Le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées de l’un des foyers d'une ellipse sur ses tangentes est la circonférence de cercle décrite sur le grand axe comme diamètre.

lOo. La propriété démontrée au n° 15)5 permet aussi de mener une tangente à l’ellipse parallèllement à une droite donnée LL' (fig. 78). Pour cela, du foyer F on abaissera une perpendiculaire sur la droite donnée; du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à 2a, on décrira un arc de cercle qui coupera la perpendiculaire à LL' en un point II ; par le milieu I de FII on mènera un

parallèle à LL' ; ce sera la tangente demandée. Le point où elle rencontrera FH sera le point de contact M.

La construction sera toujours possible, car le point F est intérieur à la circonférence décrite de F' comme centre avec 2 a pour rayon.

Il y aura deux solutions, attendu que la circonférence rencontrera FH en deux points.