Ç 3. DIAMÈTRES, ET COUDES SUPPLÉMENTAIRES
190. Dinmètrps. Nous avons donné (n*1 08 et suivants) l’équa-' lion générale des diamètres des courbes du second degré, et démontré leurs principales propriétés; nous traiterons néanmoins celle même question pour chaque courbe en particulier.
Soit
y = mx -\- n
l’équation de l’une des cordes que le diamètre considéré divise en parties égales; et soient ? et t, les coordonnées de son milieu : ce point étant sur la corde, on aura
Tt—ml+n [1].
Pour avoir les coordonnées des extrémités de la corde, il faut combiner son équation avec celle de l’cllipscy ou al7/-\-btxi=a'b,. En éliminant y on obtient :
(a’m* -f- b') x * -f- 2 (Pinnx -f- aV — a’ 6* = 0 ,
équation qui a pour racines les abscisses des extrémités de la corde. Leur demi-somme, qui est égale à l’abscisse £ du milieu, a pour valeur
t — <ftwn ■ 121
En éliminant n entre les équations [1] et [2], on aura itne équation entre ï et ti et les quantités constantes a, b et m ; ce sera l’équation du lieu.
On trouve
c’est l’équation d’une droite passant par l’origine; donc, Us
diamètres de l’ellipse sont des droites qui passent par le centre.
Remarques. I. Si l’on appelle m' le coefficient angulaire du diamètre, on a
m'= ; — d’où mm'— ; [41.
Le produit mm1 est donc constant.
II. Il en résulte que réciproquement toute droite menée par le centre de l’ellipse est un diamètre. Car, soit
y=mx
l’équation de cette droite; considérons les cordes parallèles dont le coefficient angulaire m satisfait à la relation
mm = -, cl ou m = —
le lieu des milieux de ces cordes aura pour équation
ou, en mettant pour m sa valeur
Ce sera donc la droite proposée.
197. Théorème. La tangente à Textrcmilè d’un diamètre est parallèle aux cordes que ce diamètre divise en deux parties égales.
On serait conduit à ce théorème en considérant la tangente comme la limite des cordes qui lui sont parallèles ; mais on le démontre simplement comme il suit :
Soit m' le coefficient angulaire du diamètre, m" celui de la tangente, et x', y' les coordonnées du point de contact, qui est l’extrémité du diamètre.
Le diamètre étant une droite menée de l’origine au point (x',y') on a (70)
184 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, mais, ce point étant le point de contact, on a aussi (184$)
Multipliant ces relations terme à terme, on obtient
En comparant les relations [4] et [5], on en conclut m"=m, ce qui démontre le théorème.
108. Cordes supplémentaires. On appelle cordes supplémentaires celles qui, partant d’un même point de l'ellipse, vont aboutir aux -extrémités d’un même diamètre. Il y a entre les coefficients angulaires de ces cordes une relation qui mérite d’être remarquée.
Soient x' et y' les coordonnées de l’une des extrémités d’un diamètre; celles de l’autre extrémité seront — x' et— y'. Soient (x",y") un point quelconque de la courbe, et y. et p! les coefficients angulaires des deux cordes supplémentaires menées du point ( x ”, y") aux extrémités du diamètre considéré, on aura (70)
y=ir, — -, cl [a = d ou [a(a=^- — -=G;
mais les points (x' y') et ( x ”, y") étant sur l’ellipse, on a
et ^+F = 1>
d’où, en soustrayant.
et par suite
Donc, enfin, on a la relation
c’est celle que nous nous proposions d’établir.
109. En comparant les relations [4] et [61, on voit que si l’on a u. = m, il en résulte j* '=»»', c’est-à-dire que le diamètre qui divise une corde en deux parties égales est parallèle à la corde supplémentaire.
En comparant les relations [5] et [6], on voit de même que si l’on a / = ni', il en résulte m" — u , c’est-à-dire que si l’on mène une corde parallèle à un diamètre donné, la tangente à l'extrémité de ce diamètre sera parallèle à la corde supplémentaire.
De là un nouveau moyen de mener une tangente à l’ellipse, par un point donné sur la courbe, ou parallèlement à une droite donnée.
1° Pour mener une tangente au point M (fig. 79) donné sur la
courbe, on mènera le diamètre OM; on lui mènera une corde parallèle quelconque AD ; on mènera le diamètre DD', et la corde supplémentaire AD'; puis, parle point donné, on fera passer une droite TT' parallèle à AD'; ce sera la tangente demandée.
2° Pour mener une tangente parallèle à une droite donnée LL', on mènera une corde quelconque AD’ parallèle à cette droite; puis le diamètre D’D, et la corde supplémentaire AD ; on mènera ensuite le diamètre OM parallèle à AD, ce qui fera connaître le point de contact M ; il ne restera plus qu’à mener par ce point une parallèle TT' à la droite donnée.
En s’appuyant sur le théorème du n° 197, on aurait pu se dispenser de mener D’D et AD, et joindre simplement le centre au milieu de la corde AD'.
Dans tous les cas, la construction est possible.
200. Diamètres conjagaés. Si m et m' sont les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués, on a, en vertu de la propriété démontrée au n° 198, la relation
mm —
Réciproquement : Si l’on a cette relation, les deux diamètres sont conjugués. Car soient (j. et p' les coefficients angulaires de deux cordes supplémentaires; on aura
pu
ar
Or, si l’on choisit l’Une de ces cordes de manière qu’elle soit parallèle à l’un des deux diamètres, et que l’on ait, par exemple, p=m, il en résultera m' = p'; les deux diamètres seront donc parallèles à des cordes supplémentaires; ce seront donc des diamètres conjugués.
Chacun des deux diamètres conjugues divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre. Car si m" désigne le coefficient angulaire des cordes divisées en deux parties égales par le diamètre dont le coefficient angulaire est m, on aura (190)
mais, les deux diamètres étant conjugués, on a, comme on vient de le voir
mm =
ar
De la comparaison de ces relations, on déduit m*=»n', c’est-àdire que les cordes divisées en deux parties égales par le premier diamètre sont parallèles au second.
201. Problème. Étant donné un diamètre, construire son conjugué.
Soit OM (fig. 79) le diamètre donné; on loi mènera une corde
parallèle AD; puis le diamètre DD' et la corde supplémentaire AD'; le diamètre ON parallèle à AD' sera le conjugué de OM.
On pourrait également se contenter de joindre le centre au milieu de la corde AD parallèle au diamètre donné.
Si l’on donnait l’équation d’un diamètre
y—mx,
l’équation de son conjugué serait
- Remarque. Dans le cercle, les diamètres conjugués sont perpendiculaires entre eux.
S02. Angle de deux diamètres conjugués. Soit Y l’angle qUC font entre eux deux diamètres conjugués de l’ellipse; on aura (74)
tang V =
L’angle Y ne peut être droit que pour m = 0 ou pourm=œ, c’est-à-dire quand l’un des diamètres se confond avec l’un des axes
de la courbe. Mais dans ce cas on a = *> ou — 0 ;
par conséquent, les axes (le la courbe sont le seul sys[ème de diamètres conjuguà rectangulaires.
Si l’on veut trouver le maximum ou le minimum de tang V, il faut chercher le maximum ou le minimum de la quantité entre parenthèses; pour cela on peut poser
=2/;, d’où m=k±L
On voit que la plus petite valeur qui puisse être attribuée à k
est
fc = ±-,
ce qui donne et par suite
Pour construire les diamètres correspondants, on élèvera à l’extrémité A du grand axe OA (fig. 80) une perpendiculaire sur laquelle on prendra les distances Ail et AH' égales au demi-petit axe b, et l’on joindra OH et OH’.
Les diamètres 01) et 01)' ainsi obtenus sont également inclinés sur le grand axe, mais en sens contraire ; il en résulte, à cause de la symétrie de la courbe, que ces deux diamètres sont égaux. L’angle DOD’ est le plus grand angle que puissent faire deux diamètres conjugués, et l’angle DOD" est le plus petit.
La valeur absolue de la tangente de ces angles supplémentaires
s’obtient en mettant ^ à la place de m dans l’expression de tang V.
Fig. 80.
On trouve
tang V
2ab
Remarque. Les limites entre lesquelles peut varier l’angle de deux diamètres conjugués sont aussi celles entre lesquelles varie l’angle de la tangente à l’ellipse avec le diamètre qui aboutit au point de contact (197, 198, 200). Cet angle n’est droit que lorsque le point de contact est l’extrémité de l’un des axes de la courbe.
205. Cherchons la longueur d du demi-diamètre qui a pour équation y = mx.
En combinant cette équation avec celle de l'ellipse
on trouve
, a' b' , a’ti’m*
pour les carrés des coordonnées de l’une quelconque des extréniilés du diamètre. Par suite on a
Pour obtenir la longueur d' du demi-diamètre conjugué, il suffit de remplacer, dans cette expression, le coefficient angulaire m par
celui du conjugué, c’est-à-dire par — réduction,
ce qui donne, après
Si l’on veut déterminer ni de manière que d' == d, on n’aura qu’à égaler les numérateurs de ces expressions, ce qui donne
a’m* -f- b’ = a’b’m’ -(- a* b’, ou (a* — 6*) (a'm* — b’) = 0 ,
d'où
On retrouve ainsi les diamètres conjugués qui font entre eux le plus grand et le plus petit angle ; et l’on voit qu’ù n’existc qu’un seul système de diamètres conjugués égaux.
Remarque. Dans le cas du cercle, le facteur a* — 6* est nul, et l’équation ci-dessus est satisfaite quel que soit m, c’est-à-dire qu’alors tous les diamètres conjugués sont des diamètres égaux.
204. Théorème. La somme des carrés de deux diamètres conjugués est constante [et égale à la somme des carrés des axes).
Ajoutons membre à membre les relations [1] et [2] du n° précédent, nous obtiendrons
d* + d’* d’où
cP-j-tf* = 0*4-6*;
ce qui démontre le théorème.
20ti. Théorème. L’aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est constante ( et égale au rectangle construit sur les axes).
Évaluons l’aire du parallélogramme construit sur les deux demidiamètres conjugués d et d', faisant entre eux l’angle V; cette aire sera le quart de l’aire du parallélogramme construit sur les diamètres entiers. Si la première aire est constante, il en sera de môme de la seconde. Or, en désignant la première par S, on a
S —dd! sin Y, d’où S* = d’d'* sin’ V.
On a trouvé, au n' 202,
,aDgV___=(^__> dou tang>V = i r^l,
par suite,
(«‘m’-t-t/V+Ca1 — a‘m‘-j-a‘/n*-|-6*m*-|-6* (a*m*-f6*)’
— (a‘m’-)-è‘) (wi’-H)'
En substituant dans la valeur de S*, celles de d*, de d'* et de sin* V, on trouve
ou
~ aW+ù’ *a,m‘-)-6**(a‘7n,-f-6‘) (m’+l)’
S*=a*fe*; d’où S — ab;
ce qui démontre le théorème.
206. Théorème. L’équation de l’ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués est de mime forme que l’équation de l’ellipse rapportée à ses axes. «
En effet, chacun de ces diamètres divisant en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre (200), il en résulte que si les coordonnées sont comptées parallèlement à ces axes, à choque valeur
de l’une d’elles correspondront deux valeurs de l’autre, égales et de signe contraire ; ee qui exige que l’équation ne contienne que
des puissances paires de y et de x. Et comme elle sera du second degré (88, rem ), elle sera de la forme ALr* -f- Ny* = P.
Soient a' le demi-diamètre suivant lequel se comptent les x et b' celui dans le sens duquel se comptent les y; on doit avoir
pour
et pour
x=0, y=dtb'\
ce qui donne
M a Cl N o ,
d'où
M=£ et N = ±-,.
Substituant, et supprimant le facteur P, on obtient
ce qu’il s’agissait de démontrer.
Remarque. Les propriétés démontrées aux n" I8i>, ICO, 187, et 197 à 200, ne supposent pas que les axes coordonnés soient rectangulaires ; elles subsistent donc encore lorsque l’ellipse est rapportée à un système de diamètres conjugués.
Ainsi , l’équation de la tangente au point ( x y') est
L’équation de la tangente parallèle à la droite représentée par y = nvx est
y — rrtx ± ^'â7îm*+jÿî-
Les coefficients angulaires m et m' de deux cordes supplémentaires, ou d’une corde et du diamètre qui la divise en deux parties égales, ou encore de deux diamètres conjugués, satisfont à la relation
207. On déduit de celte propriété un moyen simple de décrire l’ellipse quand on connaît deux diamètres conjugués et l’angle qu'ils font entre eux.
Soient AA' = 2a' et BB' = 26' (fig. 8 1) les deux diamètres conjur gnés donnés, faisant entre eux
l’angle donné BOA. Élevons sur AA' la perpendiculaire GG', et prenons OC = OC' = OB. Sur AA' et CC', considérés comme axes, décrivons une ellipse auxiliaire, par l’un des moyens indiqués aux n" il, 181 ou 183. Pour tracer ensuite par points l’ellipse défi*. si. mandée, soit N un point quel-
conque de l’ellipse auxiliaire, et soit NP son ordorinée rectangulaire. Par le point P, menons une parallèle à BB', et sur cette parallèle, prenons PM = NP; le point M sera un point de l’ellipse demandée.
On a, en effet, entre les coordonnées rectangulaires du point N la relation
ÜF NF
puisque a' et b' sont ses demi-axes.
On aura donc aussi entre les coordonnées obliques du point M la relation
ÜP MP* a* "*■ b"1 1 ’
le point M appartiendra donc à l’ellipse qui a pour diamètres conjugués AA’ et BB'.
On voit qu’il suffit de décrire une ellipse sur les diamètres donnés placés à angle droit et pris pour axes, puis d’incliner ensuite les ordonnées sous l’angle donné.
On peut même, en combinant ce procédé avec celui du n* 181, remplacer l’ellipse auxiliaire par le cercle décrit sur AA' comme diamètre. Car si c est l’extrémité du rayon perpendiculaire à ce
diamètre, et si « est l’extrémité de l’ordonnée qui répond & l’abscisse OP, il suflira pour obtenir le point M, de mener, comme ci-dessus, PM parallèle à OB; puis de joindre cB, et de lui mener par le point n la parallèle «M, qui rencontrera PM au point cherché.
ha similitude des triangles cOB et nPM donnera, en effet,
