NP OC OB

Pn ~ Oc ou Oc ’

il en résulte MP = NP. On peut donc se passer ainsi de l’ellipse auxiliaire.

Remarque. Si les diamètres conjugués étaient égaux, l’équation de l’ellipse rapportée à ces diamètres serait de même forme que l’équation du cerclef c’est-à-dire

mais les coordonnées seraient obliques.

$ 4. AIRB DE L’ELUPSB.

208. Pour évaluer l’aire de l’ellipse, on la compare à celle du

cercle qui a le grand axe ou le petit axe pour diamètre.

Concevons que dans la demiellipse ABA' (fig. 82) on ait inscrit un polygone d’un nombre quelconque de côtés; et que par les sommets de ce polygone on ait mené des ordonnées, dont les prolongements détermineront sur la demi - circonférence du cercle ACA' les sommets d’un polygone côtés;, soient M et M’ deux som-

inscrit du même nombre de

GÉOM. ANAL.

mets consécutifs du polygone inscrit à l’ellipse, et N, N' les sommets correspondants du polygone inscrit au cercle.

Les trapèzes PMM'F etPNN'P', qui ont même hauteur PF, sont entre eux comme les sommes de leurs bases; mais les bases correspondantes sont dans le rapport de b à a (181) : il en est donc de même de leurs sommes. Ainsi les deux trapèzes sont entre eux comme b est à a. On peut en dire autant de tous les couples de trapèzes analogues formés dans les polygones inscrits & l’ellipse et au cercle ; ces polygones eux-mêmes sont donc dans le rapport de b à a. Or ces polygones, quand on multiplie le nombre de leurs côtés, ont pour limites respectives la surface de la demi-ellipse et la surface du demi-cercle; ces limites sont donc dans le rapport constant des polygones inscrits, c’est-à-dire dans le rapport de b à a.

Ainsi, en nommant E l’aire de l’ellipse, on a

— i=-, dou E = Tab, ira* a »

c’est-à-dire que l’aire de f ellipse a pour mesure le rectangle de ses demi-axes, multiplié par le rapport v de la circonférence au diamètre.

Remarques. I. Cette aire est une moyenne proportionnelle entre les surfaces des cercles qui ont le petit axe et le grand axe pour diamètres.

II. En vertu du théorème du n* 208, on a aussi E = r.a'b' sin 0,

a' et b' étant deux demi-diamètres conjugués faisant entre eux l’angle 0.

209. Théorème. Le demi-petit asc est moyen proportionnel entre les p erpenditulaires abaissées des deux foyers sur chaque tangente.

Soit y=m*± v/oW + é’

l'équation de la tangente considérée; et soient p et p1 les longueurs des perpendiculaires abais;ées des foyers F et F sur cette tangente. Le point F ayant pour

coordonnées y=0 et s—c, et le point V ayant pour coordonnées y=0 et *=— c , on aura (76) , les aies coordonnés étant les axes de la courbe ,

— b‘ . + me de \Za’m! + b1

Les deux foyers étant situés d'un même côté de la tangente , le radical <jai forme lo dénominateur devra être pris avec le même signe dans les deux expressions. On obtient donc en les multipliant

-si’t’+s’m’+P

pp' r+^ — on '

ce qu'il fallait démontrer.

71t. TnïoRÈitE. La portion de la normale comprise entre le point de contact et le grand axe est au demi-diamêtre parallèle à la tangente, comme le petit axe est au grand.

■ Soient af e tÿ les coordonnées du point de contact ; soient a* l’abscisse du point où la normale rencontre le grand axe, et n la longueur de la normale comprise entre cet axe et le point de contact : on aura, en prenant pour axes coordonnés les axes de l’ellipse ,

nJ=y '■ + (*’— n")’.

Hais l'équation de la normale

devant être satisfaite par les coordonnées du point où elle rencontre le grand axe, on obtient, en faisant y=0 et *=*",

. — *0. d'où **=^r-

„ , ,, , M af+bW

Par suite n]=y'1 + — = ■ [l.|.

Maintenant, l’équation du diamètre parallèle & la tangente est

b>xf

En la combinant avec l’équation de l’ellipse, on obtient pour les coordonnées ds l’extrémité du diamètre

en sorte qu’en appelant a' la longueur du demi-diamètre , on a

196 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. La comparaison des relations [1] et [2] donne

ce qu'il s’agissait de démontrer.

Récipbooceksnt. Si l’on prend sur la normale, A partir du point de contact, et vers l'intérieur de la courbe, une longueur n telle que l’on ait la proportion

ü. s- - l'extrémité de cette longueur sera un point du grand axe. Car tout autre a' a

diamètre couperait la normale plus haut ou plus bas.

2H. Théorème. Si l'on a deux tangentes parallèles KL, K’L', coup/es aux points T et T par une troisième tangente TT, les portions DT et DT des langenles parallèles comprises entre les points de contact D, D' et la troisième tangente, ont pour moyenne proportionnelle le demi-diamètre OE parallèle ou» deux premières.

Prenons pour axes coordonnés les droites DD" et EE', qui sont deux diamètres conjugués (197, 209). En appelant a* et b* les longueurs OD et OE, on aura pour les équations des deux tangentes parallèles

x=a' et *=— a',

et l'équation de la troisième tangente TT sera (297 , remarque)

y=mi + v^a',m, + bQ.

En faisant successivement *=o' et »= — o' dans cette dernière, on obtient DT=mo' + »/a',mJ4-bn et DT=— ma'+ Ja'-m* + IP.

Par suite '

DTx DT= {<janm' + V' + ma') a'1m, + br‘ — ma') = b"— ÔË* ,

ce que l’on se proposait de démontrer.

212. Théorème. Si par les différents points d'une droite LL' (üg. 8î) on mène d i ellipse des couples de tangentes telles que NM, NM', les cordes des contacts, telles que MM', passeront toutes par un point fixe.

Prenons pour axes coordonnés le diamètre EE' parallèle i LL', et son conjugué DIT. Soient a" et y" les coordonnées du point N; l’équation de la corde des contacts MM’ sera (187)

Fig. M.

en sppelant a' et V les demi-diamètres OD et OE.

E!4. vy".

L’abscisse OP du point où MM* rencontre OD , ou l'are des *, s'obtiendra en faisant y = 0 dans cette équation ; ce qui donne

* ou OP = Ç [IJ.

Or l'abscisse sf du point N ne dépend pas de la position de ce point sur la droite LL’, puisque celle-ci est parallèle à l'aie de3 y; *" est donc une constante. Par conséquent OP est aussi constant, et le point P est un point fixe par lequel passent toutes les cordes analogues A UH'. C’est ce qu’il fallait démontrer.

Remarques. I. Le point P se nomme le pile de la droite LL', et la droite LL' est ce qu’on appelle la polaire du point P.

Dans le cercle, la polaire est perpendiculaire au rayon qui passe par le pôle.

IL La relation [1] montre que OD est moyen proportionnel entre 01 et OP.

III. Nous avons supposé la droite LL' extérieure à l'ellipse; si elle coupait la courbe , la propriété démontrée subsisterait encore. Il est clair seulement que l’on ne pourrait mener de tangentes par les points de la droite qui seraient situés dans l'intérieur de l'ellipse. En outre, *" étant alors moindre que a', OP serait plus grand que a', c’est-à-dire que le point P serait extérieur à l’ellipse.

Si la polaire était tangente en D , le pèle P se confondrait avec le point D , et serait conséquemment sur la polaire.

Si la polaire était la directrice, le pôle serait le foyer correspondant; car on

aurait d’où OP = e.

IV. La propriété réciproque a également lieti, c'est-à-dire que ri par un point fixe P on mine des sécantes, et que par les points où elles rencontrent la courbe on fui mine des tangentes , les couplet de tangentes correspondantes d ces directes sécantes iront se couper sur une même droite LL’. Car si OP reste fixe, en vertu de la relation [1] il en sera de même de x "; donc les points de rencontre N des couples de tangentes seront tous sur la droite qui a pour équation x = z".

Si le point fixe P était situé hors de l’ellipse, la droite LL' couperait la courbe ; csr si l’on avait OP > o', on devrait avoir x" < o'.

Si le point P était en D , la droite LL' serait tangente.

2(3. Problème. Inscrire dans une ellipse donnée un quadrilatère dont la surface soit maximum.

Supposons le problème résolu; et soit ABCD le quadrilatère demandé (le lecteur est prié de faire la figure). Menons la diagonale BD. Puisque le quadrilatère est maximum, si l’on déplaçait le sommet A, en conservant les trois autres, la surface totale diminuerait ; et comme la surface du triangle BCD ne changerait pas, la surface du triangle BAO diminuerait; le sommet à se rapprocherait donc de la hase BD. Il en résulte que le point A est actuellement aussi éloigné qu’il est possiliPe de la diagonale BD; le point A est donc le point de contact d’une tangente parallèle à BD.

On démontrerait de même que, le point C est le point de contact d’une seconde tangente parallèle à BD. Les points de contact A et C de deux tangentes parallèles sont les extrémités d’un même diamètre; donc AC est un diamètre. Il en est de même de BD.

De plus, ces diamètres sont conjugués, puisque l’un d’eux , BD, est parallèle à la tangente menée à l’une des extrémités de l’autre (197, 200).

La condition pour qu’un quadrilatère inscrit A l’ellipse soit maximum est donc que les diagonales forment un système de diamètres conjugués.

Remarques. Quel que soit d'ailleurs ce système de diamètres conjugués, la surface ABCD sera la même ; car elle est la moitié du parallélogramme construit sur les diamètres conjugués AC et BD, lequel est constant (295).

U. Dans le cercle , le quadrilatère maximum inscrit est le carré.

114. Problème. Étant donné un arc d’ellipte , achever la courte.

Soit AB'CD (fig. 84) l’arc donné. Menons les deux cordes parallèles AA' et aa'; par les milieux de ces deux cordes faisons passer une droite DO : ce sera un diamètre de l’ellipse. Menons deux antres cordes parallèles BB', bV\ par les milieux de ces cordes faisons passer une droite CO : ce sera un second diamètre de l’ellipse. Le point O où les diamètres sa rencontreront sera le centre de la courbe. Menons par le centre la droite EE' parallèle à BB' : ce sera la direction du diamètre conjugué de OC Pour déterminer la longueur de ce conjugué, prolongeons CO d’une quantité égale OC' ; par les points C et C menons des parallèles CT et CT à la corde BB' : ce seront des tangentes à la courbe; par le point D menons TT parallèle à AA': ce sera une troisième tangente; et, en vertu du théorème démontré au n" 211, la moyenne proportionnelle entre CT et CT sera la longueur du demi-diamètre OE.

Connaissant deux diamètres conjugués GC' et EE', on a vu (297) comment on peut tracer la courbe.

215- Problème. Connaissant , de grandeur el de poeition, deux dt amétree conjugués de {‘ellipse, conslruirc ses axes.

Soient OC et OD (fig. 85) les deux demi-diamètres conjugués donnés. Par le point D menés une perpendiculaire A OC, et prenez sur cette perpendiculaire les longueurs OE et OF égales A OC; puis joignez OE et OF. Divisée l’angle EOF en deux parties égales par la droite OX,qui coupera EF en un point 1; et menez OY perpendiculaire A OX. Enfin, menez DK parallèle A OX, et prenez OA=KF et OB=QK. Les droites OA et OB seront les axes de la courba.

Soient, pour abréger l’écriture, OC=o'.

jj OD=!/ et COD=V. On aura, d’après la con-

struction, ODE=90*— V et ODF=90»+V, et les triangles ODE et ODF donneront

ÔË,=o',+b'J— 2aV cos (90*— V)=tf>+ V>-îa'V sin V, ÔF,=a'>+h'>— 2a'V cos (90*+V)=a°+l^+îaV sin V.

Or, en appelant a et b les demi-axes , on a démontré les relations

o^+f/’^o’+b’ et <fb' sin V=ob.

On pourra donc écrire

ÔK,=o,+ b1— 2ab, d‘où OE=ra — 6;

ÔF*=o,+b» + îab, d’où OF=o + b.

Maintenant, OX étant la bissectrice de l'angle EOF, on a

IF O F o’ + DI a-f b US- OE °U a'—ül ~a — b’

d’où l’on tire =

D’ail leur», DX étant parallèle è 01 , on a