DI OK

o' KF

Donc OK=b et KF=g.

Remarquons enfin que le point D appartenant à l'ellipse , la droite menée de ce point parallèlement à OC serait une tangente; d'où il suit que DE est une normale. En vertu du théorème démontré au n” 210, ou plutôt en vertu de la réciproque, la proportion [1] ayant lieu, le point 1 appartient au grand aie. Donc, en prenant OA=KI> et OB=OK , on a bien les aies de la courbe.

216. Problème. Une droite AB (fig. 86) de longueur constante te meut, en t’appuyant par deux de tes points, A et B, sur deux axes fixes XX' et YY’; on demande le lieu décrit par un point déterminé M de cette droite mobile.

I. En examinant les diverses positions que peut prendre la droite AB, on reconnaît aisément que le point M décrira une courbe fermée Il s’agit d’en obtenir l’équation.

Posons AB=> , MB=«, MA— fi, OA = a et 0B = b. Prenons pour axes coordonnés les droites fixes XX' et YY\ Soit 6 l’angle YOX, et soient x et y les coordonnées du point.M, on aura

OP MB la >jr

n7 = Tn 011 - — n d où a = r — OA AB o X a

MP MA y 9 , , . , ),y

ÔB-ÂB 0U b = X* d0Ù b=J’

800 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. Or la triangle AOB donna

OA* + OB*— 20A.OB.cos AOB = ÂB* ou a'+b'— 2ab cos 9 = X>.

Substituant les râleurs ci-dessus de a et de b, et divisant par X , on obtient

*• , y> 2ryco>9

«• + p* ~ Tp

Telle est l’équation du lieu. On reconnaît que c'est une ellipse (136). L’équation ne changeant pas quand on y remplace z et y par — z et — y, on en conclut, comme au n" 179, que l’origine est le centre de la courbe. Mais elle n’est point rapportée à deux diamètres conjugués , puisque l'équation contient le rectangle xy des variables.

11 est facile d'obtenir le diamètre conjugué de OD, par exemple. En effet, l’extrémité E de ce diamètre est le point de contact d'une tangente parallèle à OX. On déterminera les coordonnées de ce point en cherchant quelle valeur il faut attribuer & y dans l'équation [1], pour que les deux valeurs de x se réduisent à une seule. Or, si l'on prend - pour inconnue, la condition pour que les deux racines soient égales est

/y eos 6 \* y>

d’où y = ±-,2—.

sin8

Les racines égales sont alors

z y cos 6 p •

d’où

. a cos 6 z = ± — — — .

sm e

Ces valeurs sont faciles à construire. Connaissant le point E, on tire OE, qui sera le conjugué de OD. Ayant un système de diamètres conjugués, on pourra déterminer les axes.

Fig. 87.

OE, conjugué de OD, les voleurs

Remarques. I. Si le point décrivant, M, au lieu d'être situé entre A et B , comme nous l’avons supposé dans la figure 86, était situé en dehors, comme dans la figure 87 , la distance OP serait égale i

— a; on aurait donc o= — — ; par

suite, l’équation de l'ellipse serait

z* , y* , 2 xy cos 9 .

«,i"p,+ ïp“”

et l’on trouverait pour les coordonnées de l’extrémité E du diamètre

sin 9

et x=zz p

e cos 9 sin 9 1

dans lesquelles les signes supérieurs se correspondent , ainsi que les signes inférieurs.

II. Si les droites fixes XX' et Y Y' étaient perpendiculaires entre elles , on aurait 8=90°; par suite, l’équation de l’ellipse deviendrait

quelle que soit la position du point M sur la droite mobile. La courbe serait alors rapportée à son centre et à ses axes; les longueurs de ceux-ci seraient les distances a et p ou MB et MA.

217. La solution du problème suivant se déduit de celle qui vient d’élre exposée.

Problème. Dans un cercle dont le rayon est TO (flg. 88) roule , sans glissement,

un cercle dont le rayon CO est moitié moindre. On demande le lieu décrit par un point M situé sur la direction d'un rayon déterminé CA du cercle mobile.

Soit T le point de contact des deux cercles, l’af le point A et par le centre O menons une droite indélinie XX’, qui coupera le grand cercle en un point A,. Par le point O menons une droite indéfinie YY' perpendiculaire à la première; elle rencontrera le petit cercle en un point B, qui sera sur le prolongement de CA, puisque l'angle AOB est droit.

Remarquons d’abord que le point A, sera précisément la position qu'occupait le point A du petit cercle lorsqu'il était tangent en A.; en d'autres termes, les arcs AT et A.T sont égaux. En effet, on a •