SOS

Dans les équations [1] et [2j, on peut regarder x et y comme les coordonnées du point commun aux deux tangentes, c’est-à-dire comme les coordonnées d'un point du lieu. Si donc on élimine m et m' entre les équations [1], [2] et [3] , il restera une relation constante entre x et y , qui sera l’équation du lieu.

Or l’équation [IJ peut être misa sous la forme

(x‘—/iT)m,— 2Ty m + t/ — 6*=0 f4].

L’équation [2] fournit une relation semblable , qui ne diffère de celle-ci qu’en ce que m y est remplacé par wt. Il s’ensuit que Ton peut regarder m et m' comme les deux racines de l’équation [4]. Leur produit a donc pour râleur

et en substituant dans l’équation [3], on obtient

— ^4-1=0 ou ** + y*=a> + b\ v — a*

équation d’un cercle décrit du centre de l’ellipse avec un rayon égal à >Ja} + 65, diagonale du rectangle construit sur les demi-axes a et b.

Remarque. Dans le cas où a=b, le rayon derient ayj 2, ou le côté du carré inscrit au cercle donné.

220. Problème. On a uns série d'ellipses ayant même centre , leurs axes proportionnels et dirigés suivant les mêmes droites; par un point fixe dans leur plan on leur mène des tangentes; on demande le lieu des points de contact.

Supposons ces ellipses rapportées à leur centre et à leurs axes. Si les demiaxes de Tune sont a et b, les demi-axes de Tune quelconque des autres pourront être représentés par na et nb, n étant un coefficient variable d’une ellipse à l’autre.

L’équation d’une tangente sera donc (487)

et si s* et y" désignent les coordonnées du point fixe par lequel on mène les tangentes, on devra avoir

[IJ

avec la relation +^1 - 1 f2].

Pour obtenir l’équation du lieu des points de contact, c'est-à-dire la relation constante qui lie les coordonnées x* et </, il suffit d’éliminer n entre les équations [1] et [2]. Pour cela, on n’a qu’à égaler les premiers membres et à supprimer le dénominateur n’, ce qui donne

Cette équation est celle d'une ellipse, qui passe par l'origine et par le point Aie. On pouvait prévoir cette double circonstance. Car, lorsque les axes, tout en conservant leur rapport, deviennent tris-petits, l'ellipse tend à se réduire à l'origine des coordonnées ; il en est donc de mime des points de contact. D'un autre cité, parmi les ellipses données, qui croissent indéfiniment, on peut toujours en concevoir une qui passe par le point fixe; ce point devient alors luiraême le point de contact.

On simplifie l’équation du lieu en transportant l’origine au milieu de la droite qui joint le point fixe 1 l’origine, c'est-à-dire au point dont les coordonnées *" y”

sont - et|-. Pour cela il faut poser :

*'=*+2 et y =y + y; substituant dans l’équation [3] on obtient

Posant, pour abréger,

il vient enfin

++t=€L+tlm

a,7' b’ ia,TW

L'ellipse est alors rapportée à son centre et à ses axes. On volt que ces axes sont proportionnels à ceux des ellipses données.

Remarque. Si les ellipses données sont remplacées par des cercles concentriques , le lieu est un cercle décrit sur la distance du point fixe au centre commun des cercles donnés , prise pour diamètre.

221. Problème. On a deux cercle s égaux C et C (fig. 91), qui se coupent en

B et B'; par le milieu O de la distance des centres on mène une sécante quelconque; elle rencontre les deux circonférences en des points K et K'; on joint CK et C’K' qui , prolongés ou besoin, se coupent en un point M. On demande le lieu du point M.

Prenons pour axes la droite XX' qui passe par les deux centres, et la droite YY’ qui passe par les deux points communs; il est évident que le lieu sera symétrique par rapport à ces axes, et que par conséquent son équation sera plus simple.

Posons CA=a, OB=b, OC=e;

en joignant CB, on voit facilement qu’on aura o’=bJ-f c7.

Les équations des deux circonférences seront

[l] y’ + t* — c)7~a7 et y’-f (x + c)7=a7 [21.

Fig. si.

Soit y — mx l’équation de la sécante; en éliminant y entre cette équation et chacune des deux précédentes, on aura les équations qui donneront les abscisses des points où la sécante rencontre les deux circonférences. Soient s' et s" les abscisses des points K et K', on trouvera ainsi

[3] (mJ + l)x'J— 2ci'=6’ et (m’-H)**+2c*"=b’ [4].

Les ordonnées des points K et K' étant » ni' et nu", on trouve que les droites CE et C'K' ont pour équations (70)

[5] y=jr^(*-£) et ¥=jqpj(* + «) [<>]•

Dans ces équations on peut regarder s et y comme les coordonnées du point M ; on obtiendra donc l’équation du lieu en éliminant **, s* et m entre les relations [3], [4], [5] et [6].

Pour cela, on éliminera d’abord xf entre [3] et [5], ce qui donne, après réductions , et en ordonnant par rapport & c, »

m’ (y’ — V-) e’ — 2 (a’my — b’m’x) c — ay + 2a’mary — b,m,x,= 0 [7] .

. Si l’on élimine de même se" entre les équations [4] et [6], On obtiendra une relation qui ne différera de celle-ci qu’en ce que c sera changé en — c. Pour que ces deux relations subsistent en même temps, il faut donc que le terme affecté de la première puissance de c dans l’équation [7] disparaisse de lui-même, ce qui donne

a’my — b'm’x—0, d’où m=z~^

(la Taleur particulière m = 0 ne pouvant être admise).'En mettant pour m cette expression dans l’équation [7] , on aura une relation constante entre * et y , qui sera l’équation du lieu. On trouve ;

a’cy [a’ (y1 -b>) + 6’*’] =0.

Or, en supprimant le facteur oVy 1 étranger è la question, transposant et divi sant par a’b’, on obtient

C’est l’équation d’une ellipse rapportée à son centre et è ses axes, qui sont le diamètre 2a de l’un des deux cercles, et la corde commune 2b. Les centres C et C' des deux cercles sont les foyers de l’ellipse.

Remarque I. On peut arriver au même résultat par des considérations géométriques. Menons par le point C une parallèle à OK, terminée en I è sa rencontre avec CM prolongé. Comme on a OC = OC, à cause des parallèles on aura aussi IK' = CK'=o. Mais CK = a; donc 1K'=CK. Or on a la proportion ;