IK'- CK

donc IM = CM; et par suile MC + MC = MC' + Ml = CT = CK' + K'I =2a. Le

lien du point M jouit donc de cette propriété que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes C et C', est constante et égale à 2 a; ce lieu est donc une ellipse dont C et C' sont les foyers, et dont le grand axe est 2a.

II. En prenant DA = OC et iyA'=OC', on aura les sommets du grand axe.

222. Le lecteur pourra s’exercer sur les questions suivantes :

I. Théorème. Si l'on joint un foyer de l’ellipse avec le point oû la directrice correspondante rencontre une tangente donnée, la ligne de jonction sera perpendiculaire au rayon recteur du point de contact.

II. Théorème. la moyenne géométrique entre Us deux rayons vecteurs d'un même point de l’ellipse est U demi-diamètre conjugué de celui qui aboutit d ce point.

III^ Théorème. La somme des carrés des projections de deux diamètres conjugués de l’ellipse sur une droite fixe quelconque est constante.

IV. TnéORÈUB. Si Ton joint deux points m et m' d’une ellipse aux extrémités A

et B d'un même diamètre, et que l'on mène la diagonale nn' du quadrilatère Mur- . miné par le» quatre lignes de jonction, cette diagonale sera parallèle d la tangent* TT' menée à l’une des extrémités A du diamètre.

V. Problème. Inscrire dans une ellipse donnée un triangle dont la surface soit un maximum.

VI. Problème. Étant donnés deux carrés ABCD, abcd, dont l'un est intérieur d Vautre, ayant même centre, et disposés de telle sort» que les côtés de l’un soient parallèles aux diagonales de l'autre , inscrire au plus grand une ellipse qui soit circonscrite au plus petit.

VII. Problème. Trouver le lieu des sommets des parallélogrammes construits sur les diamètres conjugués

de l’ellipse.

o VIII. Problème. On a une' série d’ellipses ayant

Fig. m. même centre, leurs axes proportionnels et dirigés sui-

vant les mêmes droites; par un point fixe pris dans le plan d» ees courbes on leur mène des normales; trouver le lieu des pointe od chaque normale rencontre la courbe (normalement).

IX. Problème. One droite de longueur constant» se ment en s’appuyant par ses extrémités sur deux axes fixes; trourer le lieu des centres de gravité des triangles déterminée par ces deux axes et par cette droite.

X. Problème. On a deux ellipses dont les axes sont proportionnels et respectivement parallèles; trouver le lieu des points oti chaque diamètre de l’une rencontre le conjugué de son parallèle dans l’autre.

XI. Problème. On mène parallèlement à une droite donnée des tangentes à

um série d'ellipses ayant la mêmes foyers; trouver le lieu des points de contact.

XII. Problème. On a une série d’ellipses ayant même surface et leurs axes dirigés suivant Us méma droites; dans chacune d'elles on inscrit un rectangle maximum; trouver le lieu des sommets de ces rectangles.

223. Applications. I. On sait qu’une arcade à plein cintre est formée d une demi-circonférence de cercle AHB (fig. 93) qui est tangente en A et B aux arêtes verticales AC et BD des piédroits ; la tangente à l'extrémité H du rayon vertical OH est alors une horizontale EF, parallèle i la ligne de naissance AB.

Lorsque l'arcade est destinée & soutenir une rampe , la ligne de naissance ab (fig. 94) prend l'inclinaison de la rampe; il en est de même delà tangente ef menée à l'extrémité h de la verticale oh égale à oa ou à ( ob. La courbe ahb de l'arcade prend alors le nom d’arc rampant; elle doit être tangente en a, h et b aux droites ce, ef et fd. Le plus souvent on se contente de la remplacer par deux arcs de cercle; mais le tracé a moins de raideur lorsque la courbe est une ellipse.

Les tangentes ae et bf étant parallèles, la droite ab est un diamètre; son milieu o est le centre, et oh rat le conjugué de ao. Ayant un système de diamètres conjugués égaux, il suffit, pour tracer la courbe, de décrire sur ab une demi-circonférence, et d’incliner ensuite les ordonnées parallèlement à oh (M 7).

Remarque. On trouverait dans l'architecture et dans la coupe des pierres beaucoup d’autres applications de l'ellipse.

224. U. La perspective d'un cercle est généralement une ellipse, quand la surface du tableau est plane. Pour mettre en perspective un cercle O (fig. 95) ‘dont le plan est horizontal, on lui circonscrit un carré ABCD, dont deux côtés AB et CD sont parallèles au tableau; on mène la diagonale BC, et l’on tire les diamètres EF et GH qui unissent les points de contact. Soit a6 l’horizontale qui représente le côté AB sur le tableau. On démontre que les droites ae, ef, bd, perspectives des droites AC, EF, BD, vont concourir en un point P que l'on appelle le point de vue; et que la diagonale BC a pour perspective une droite bc qui va passer par un certain point P*, situé sur la même horizontale que P, et

que l'on nomme le poiuf de distance. Quant aux droites cd et gh , perspectives de» droites CD et GH , elles sont parallèles à ab. Les lignes tangentes restant tangenies en perspective, il s'agit de tracer une ellipse tangente en e, g, f tX h aux quatre côtés du trapèze abcd.

Fig. 95.

Pour cela, on remarquera que les tangentes ab et cd étant parallèles, la droite ef e si un diamètre, et son milieu i est le centre. Le conjugué de e/'est parallèle i ab. Pour en déterminer la longueur, on fera usage du théorème démontré au n* 211. On prendra la moyenne géométrique entre ne et cf, et on la portera de i en k. Ayant un système de diamètres conjugués, on pourra tracer la courbe comme il a été dit au n* 207.

Reu*rques. 1. La perspective d'un cercle vertical donnerait lieu i des constructions du même genre.

U. Les ombres et la perspective des ombres fourniraient beaucoup d’autres applications de l'ellipse.

22$. III. Lorsque la corde d'un réverbère oonserve sa longueur et reste dans un plan vertical, la poulie est assujettie à décrire une ellipse qui a pour foyers les deux points de suspension et dont le grand axe a pour longueur celle de la corde. Dans la position d'équilibre, on démontre que la poulie est au point le plus bas de l'ellipse; la tangente en ce point étant horizontale. Pour trouver la position d'équilibre, il s'agit donc de mener i l’ellipse une tangente horizontale (19S). Pour cela , soient A et B (fig. 96) les points de suspension; on mènera la verticale AH. Du point B comme centre avec un rayon égal è la longueur de la corde, on décrira un arc de cercle qui coupera AH en un point D; on joindra BD; puis, par le milieu I de AD , on mènera l'horizontale * IM qui rencontrera BD au point M. Ce point sera la position d'équilibre de la poulie; les droites AM et BM seront les directions des deux parties de la corde.

228. IV. On a construit des salles & voûte elliptique; elles jouissent , sous le rapport de l’acoustique, d'une propriété remarquable. Supposons que la voûte

soit une surface de révolution dont 1a demi-ellipse A MA' (fig. 78) soit la courbe méridienne, et dont AA' soit l’ax?. On sait que lorsqu'un rayon sonore vient frapper une surface, il se réfléchit en faisant un angle de réflexion égal à l’angle d’incidence; c'est-à-dire que le rayon incident et le rayon réfléchi font avec la normale des angles égaux. La normale à une surface de révolution étant la normale à la section méridienne qui passe au point de la surface que l’on considère, on voit que si un rayon sonore F'M émane de l’un des foyers F' de la courbe méridienne, après la réflexion il viendra passer au foyer F, puisque lesangles F'M N et FMN que les deux rayons font avec la normale MN doivent être égaux. Il en sera de même de tous les rayons qui émanent du foyer F*, soit qu’ils viennent frapper la surface en un point de la courbe AMA' ou en un point de toute autre ellipse méridienne. Un son produit en F* sera donc perçu en F avec une intensité incomparablement plus grande que s’il était produit et perçu en tout autre point de l’espace; et c’est ce qu’on observe en effet.

Î27. V. Le méridien terrestre diffère extrêmement peu d’une ellipse dont le grand axe serait le diamètre de l’équateur, et dont le petit axe serait la distance des pâles. C’est en mesurant les degrés du méridien qu’on a pu déterminer les dimensions de ses axes.

On appelle arc d’un degré sur une ellipsa (ou sur une courbe quelconque! , un arc tel que les normales menées à ses extrémités font entre elles un angle d’un degré. Or il suffit de connaître la longueur de l’arc d’un degré au pôle et à l’équateur pour être en état de calculer les axes du méridien.

En effet, chacun de ces arcs peut d’abord être remplacé par un arc de cercle qui en diffère extrêmement peu, car on a vu au n” 191 que la normale, en un point tris-voisin du sommet du grand axe, rencontre cet axe à une distance du

centre égale à — > et par conséquent à une distance du sommet égale à a

ou à — . L’arc d’un degré compté à partir du sommet du grand axe se confond

donc sensiblement avec un arc de cercle dont le rayon serait — , et si l’on dé-

signe par d la longueur de l’arc d’un degré dont il s’agit, on a

On verrait de la même manière que si d' désigne la longueur de l’arc d’un degré compté à partir du sommet du petit axe, on a

De ces deux égalités on tire les valeurs de a et de b. Pour cela, on élève au carré les termes de l’égalité [1] el on multiplie terme à terme avec la proportion [2], on obtient :

(2 it)J bJ (3GU)J Par un calcul analogue, on obtient GÉOM. ANAL.

d’où

| 360 ï/dtF‘.

On a trouvé ainsi, à environ 500“ près,

a = 63* 7 400“ et 6 = 6350100-,

a étant le rayon de l'équateur et b celui du pôle.

Ce qu'on nomme l'aplatissement est le rapport

128. VI. Les orhites des planètes (lorsqu’on néglige les petites perturbations qu'elles éprouvent) sont des ellipses dont le centre du soleil occupe l’un des foyers. L’orbite de la terre, par exemple, est une ellipse dont le demi-grand axe est d'environ 153493000 kilomètres, elle demi-petit axe de 153454000 kilomètres. L’excentricité , ou le rapport -j est 0,01678. Cette ellipse, comme on voit, diffère

peu d’un cercle.

Parmi les planètes anciennement connues, celle dont l’orbite est la plus excentrique est Mercure ; pour cette planète, le rapport j est égal & 0 .20562.

La planète dont l’orbite a la plus grande excentricité est Junon , pour laquelle

D’après la première loi de Képler, si par le foyer F (fig. 97) de l’orbite planétaire qu'occupe le centre du soleil, on conçoit un rayon vecteur fictif Fin mené au centre de la planète , ce rayon vecteur décrira des aires - proportionnelles au .temps, c’esl-à dire que si m’ est la position qu’occupe la planète au bout de 1" par exemple, le secteur mFm' aura une surface constante, quelle que soit la position m qui a servi de point de départ.

L’arc mm' n’est autre chose que la vitesse t> de la planète; la loi de Képler fournit le moyen d’exprimer d’une manière très-simple la loi suivant laquelle varie celte vitesse. En effet , soit T la durée de la révolution de la planète exprimée en secondes; l’aire du secteur décrit en une seconde sera (298).

Fig 87.

Mais l’arc mm' étant assez petit pour pouvoir Cire considéré comme rectiligne,

on a aussi

s = ) mm'. p

en appelant p la perpendiculaire FP abaissée du foyer F sur la tangente en m , ou sur le prolongement de l’élément mm’. D’ailleurs, en vertu du théorème démontré au n” 209, si p' désigne de môme la perpendiculaire Fl” abaissée du second foyer F' sur la môme tangente, on a

et par suite

s = | mm'.

Egalant les seconds membres des relations fl] et f2], on obtient = dou mmout=-jjrp',

c’est-à-dire que la vitesse r de la planète est proportionnelle à la perpendiculaire p' abaissée du second foyer de l’orbite suc la tangente.

La vitesse est donc la plus grande quand la planète est au point A que l’on nomme le périhélie; on a alors \f — a + c, et par conséquent

2 ira (a + c)

® — or’

Elle est la plus petite quand la planète est au point A' , que l’on nomme Vaphélic ; on a alors p' = a — c , et par suite

2îm(o — r).

Ces vitesses eitrêmes sont dans le rapport de a + c à a — c,ou, ce qui revient C c

au même , dans le rapport de 1 + - à 1 — -• Pour l’orbite terrestre, par exem-

ple, dans laquelle ^ = 0, 01678, les vitesses au périhélie et à l’aphélie sont entre

elles comme 1 + 0,01678 est à 1 —0,01678 ou comme 1 ,01678 est à 0,98322.

Pour Mercure, on a - = 0,20562; et par conséquent le rapport des vitesses

extrêmes est celui des nombres 1 -f 0,20562 et 1 — 0,20562 ou de 1,70562 à 0,79438.