CHAPITRE VII
sj I . centre: axes; ordonnées; foyers et directrices.
220. Contre; axes; ordonnées. On a vu au n° 1 74 que l’équation de l’hyperbole peut être ramenée à l’une des deux formes :
ou
les angles étant rectangulaires.
La seconde forme se ramène elle-même à la première en changeant les y en x et les a; en y; il suffira donc d’étudier la première. Elle ne diffère de l’équation de l’ellipse qu’en ce que b ’ y est remplacé par — b *.
Celte équation ne change pas quand on y remplace x cl y par — x et — y, on en conclura, comme au n° 170, que l’origine est le centre de la courbe.
A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signe contraire ; et à chaque valeur de y correspondent de même deux valeurs égales et contraires de x. On en conclura, comme nu n° 170, que les axes rectangulaires auxquels la courbe est rapportée sont des axes de symétrie. On les nomme les axes de l’hyperbole. La courbe se compose de quatre parties superposables.
Pour y = 0, on a x = ±a; mais pour x = 0 on trouve y=±bij — 1. Il en résulte que l’axe des x rencontre la courbe; mais que l’axe des y ne la rencontre pas. Le premier prend pour cette raison le nom d’axe transverse ; sa longueur est 2 a. Quoique le second ne rencontre pas la courbe, on convient encore d’ap* peler 2 b sa longueur.
L’hyperbole est dite équilatère lorsque l’on a a — b.
On tire de l’équation [1] #
y=±^\Jx' — a* [3 1 .
On reconnaît que la courbe n'a aucun point dont l’abscisse soit moindre que a en valeur absolue; et si l’on fait croître a; de «
jusqu’à » , y croît depuis 0 jusqu’à oo . La courbe a donc la forme indiquée par la figure 98.
Les points A et A' où elle est rencontrée par son axe transverse sont les deux sommets de l’hyperbole.
On peut la construire par points d'après son équation. Soit OP Fi8- (fig. 98) l’abscisse d’un point dont
on cherche l’ordonnée; du point P on mènera une tangente PN au cercle décrit sur AA' comme diamètre; on prendra PI = è, et PK=o; on joindra KN, et l’on mènera IH parallèle à KN ; puis on prendra l’ordonnée PM égale à PH; le point M sera un point de la courbe, car on aura
