MT»’ AP. A'P MP'* AP'. AP

x' — a = AP’

ce qu’il s’agissait de démontrer.

252. Foyers. On a vu au n°I2 que la courbe qui jouit de celle propriété, que la différence des distances de chacun de scs points à deux points fixes est constante, est une hyperbole. Nous allons faire voir que toute hyperbole jouit de cette propriété.

Prenons sur l’axe transverse de l’hyperbole deux points F et F' (fig. 99) situés de part et d’autre du centre à une distance c=y'a*-|-4’. Soit M un point de l’hyperbole répondant à une abscisse positive; joignons MF et MF'. Nous aurons

MF*= y* + (x- c)*= £ (x’- a’) + (x— c)*= (f - a)’,

d’où MF— a [4]

attendu que x étant au moins égal à a, et c étant plus grand que ex

a, le terme — est plus grand que a.

On aura de même

MF* = i/ + (x + r)* = £ (x» a*) + (x + c)« = + a ) 5

d’où

MF' = — -j- a, a '

PROPRIÉTÉS PRINCIPALES DE L’HJ'PERBOLE.

Retranchant [4] de [5], obtient

MF' — MF=2<z,

quantité constante; ce qui démontre la propriété énoncée pour la

branche d'bvperbole située à droite de l’axe des y. A cause de la symétrie, il est clair qu’elle a lieu pour l'autre branche, avec celte seule différence que les points situés sur cette seconde branche sont plus éloignés de F que de P.

Les points F et F' sont les foyers de l’hyperbole; les distances MF et MF' sont les rayons vec/eurs du poinl M. La propriété que l’on vient de démontrer peut s’énoncer en disant que, dans l' hyperbole , la différence des rayons vecteurs est égale à l'axe transverse.

èrr 1 [

Fig

Remarques. I. Celle propriété n’appartient qu’aux points de l’hyperbole; car soit d’abord M' un point extérieur (c’est-à-dire placé du côté où la courbe tourne sa convexité); joignons M'F' et M'F, qui coupera la courbe en un point M; joignons MF', nous aurons

M'F’ <MF'+ MM', d’ou M'F'- M’F< MF'+ MM — M'F,

ou M'F'— M'F < MF' — MF ou <2a;

soit, en second lieu, 11" un point intérieur (c’est-à-dire placé du côté où la courbe tourne sa concavité); joignons M"F' et M"F , dont le prolongement coupera la courbe en un point M; joignons MF', Nous aurons

MT > MF'— MM", d’où MT— M"F > MF' — MM"— M"F,

ou M"F' — M"F > MF’ — MF ou >2a.

On voit qu’un poinl est hors de l'hyperbole, sur l'hyperbole, ou intérieur à l’hyperbole, suivant que la différence de scs distances aux deux foyers est inférieure, égale ou supérieure à l'axe transverse.

II. Pour construire les foyers, il suffit d’élever au sommet A

(fig. 100) une perpendiculaire à l’axe transverse; de prendre sur cette perpendiculaire une longueur AB égale à b, et de décrire du point O comme centre, avec OB pour

— rayon, une demi-circonférence de cercle. Elle rencontrera l’axe transverse prolongé, aux points F et F' qui seront les foyers; car on aura

OF = OB = v/OA,-j-AB,==v'F+65.

La distance FF’ ou 2c se nomme l'excentricité de l’hyperbole.

III. On a vu au n* 12 comment on trace la courbe d’un mouvement continu en s’appuyant sur la propriété dont nous nous occupons. On peut aussi la construire par points. Pour cela, du foyer P comme centre avec un rayon plus grand quee — a on décrira un arc de cercle ; du point F’ comme centre avec un rayon égal au précédent augmenté de 2 a on décrira un second arc de cercle. Ces deux arcs se couperont en un point appartenant à l’hyperbole.

IV. Dans l’hyperbole, comme dans l’ellipse, le rayon vecteur est une fonction rationnelle, entière et du premier degré de l’abscisse du point considéré, lorsque la courbe est rapportée à son centre et à ses axes; en général, le rayon vecteur est une fonction rationnelle, entière et du premier degré des coordonnées du point considéré, quel que soit le système de coordonnées rectilignes auxquelles on rapporte la courbe (105, IV).

255. Directrices. A chaque foyer de l’hyperbole , comme à chaque foyer de l’ellipse, correspond une directrice, c’est-à-dire une droite, telle que le rapport des distances de chaque point de la courbe au foyer et à cette droite est constant.

Soit DL (lig. 100) une perpendiculaire à l’axe transverse. Soit M

un point de l’hyperbole; joignons MF, et menons ML perpendiculaire à DL; si l’on représente OD par d, on aura

MF = — — a, ML = x — d, a

et si k désigne le rapport constant de ces deux longueurs, on devra avoir

— 7 =k d'où ( - — k)x-\-dk — a=0.

Pour que cette relation subsiste quel que soit x, il faut qu'on ait séparément

-=k et dk=a, d’où d= — ,

c’est-à-dire que la distance d doit être une troisième proportionnelle à la demi-excentricité et au demi-axe transversc ; et qu’alors le rapport des distances MF et ML est celui de l’excentricité à l’axe transverse.

Pour le second foyer, on trouverait une droite analogue D'L'si-

fl*

tuée à une distancetlu centre égale à

Ces droites sont les directrices de l'hyperbole. Comme c est plus

grand que a, la distance - est moindre que a; les deux directrices

sont situées entre les sommets A et A’ de la courbe.

La propriété que l'on vient de démontrer peut s’énoncer en disant que les distances d'un même point de l'hyperbole au foyer et à la directrice correspondante sont entre elles comme rexcenlricitc est à l'axe transverse.

Remarques. I. Pour construire la directrice DL, il suffit d’élever sur OA la perpendiculaire AB égale à b, de joindre OB; d’abaisser du foyer F sur OB la perpendiculaire FI, et de mener par le point I une perpendiculaire DL à l’axe transversc. Car on aura