OD 01 01 — OF
mais les triangles OAB et OIE sont égaux comme étant rectangles, ayant un angle commun et les hypoténuses égales ; on a donc 01 = OA, et l'on peut écrire
OD OA OD a
Ü“ÔF °U ~â ~c'
II. Quand l’hyperbole est équilatère, le point D est le milieu de OF; car le triangle OAB, et par suite son égal OIF, sont isocèles, puisque l’on a a — b.
III. Dans l’hyperbole, c est plus grand que a ; ainsi, un point quelconque de la courbe est plus près de la directrice que du foyer correspondant. C’est l’inverse de ce qui a lieu dans l’ellipse.
S 2. TANGEETE et normale.
254. Tangente. Le coefficient angulaire de la tangente à l’hyperbole, au point (a;' y1), a pour valeur (10 1)
qui ne diffère de celle du coefiicient angulaire de la tangente à l’ellipse qu’en ce que b • est changé en — b *.
Pour voir comment ce coefficient varie, remplaçons y' par sa valeur tirée de l’équation de la courbe; on trouve, après réductions,
Considérons la portion de la courbe comprise dans l’angle YOX. Quand x' croît de +a à + » , m décroît de -j- œ à + ^ ; il en résulte que, dans l’intervalle considéré, la courbe tourne sa concavité vers les y négatifs (100); et, à cause de la symétrie, on peut
dire que dans tout son cours elle tourne sa concavité vers le prolongement de son axe transverse.
Au sommet, onai' = oct y' = 0 ; par suite «i = ® ; la tangente en ce point est donc perpendiculaire à l’axe transverse.
233. L’équation de la tangente à l’hyperbole, au point {x1, y1), est, d’après ce qui précède (101),
il faut y joindre la relation
qui exprime que le point est sur la courbe. On peut mettre l’équation [2] sous la forme
xx' yy' x'1 y'*
et par conséquent, en vertu de [3], on peut écrire
xsf yy' .
telle est l’équation de la tangente.
23G. Problèmes. I. Mener une tangente par un point (x", y") extérieur ( c'est-à-dire situé cn're les deux branches de l'hyperbole).
On aura, pour déterminer x'4 et y', coordonnées du point de contact, les deux équations
££=1 et î¥-^=t.
dont la seconde exprime que le point donné est sur la tangente.
L’élimination conduit à une équation du second degré ; il y a donc, en général, deux tangentes. Elles se réduisent à une seule quand le point donné est sur l’hyperbole.
Mais, au lieu de déterminer les coordonnées x’ et y’ par le
calcul, il est préférable de remarquer que le point de contact peut s'obtenir, comme au n° 187, par l’intersection de deux lieux géométriques, savoir : l'hyperbole cllc-mômc et une droite, la côrde des contacts, dont les coordonnées à l’origine sont
II. Mener une tangente parallèle à une droite donnée dont le coefficient angulaire est m.
En opérant comme au n° 187, II, on trouvera
y = mx db y fd'in' — b*.
Cette équation ne diffère de celle qui a été trouvée pour la tangente à l’ellipse qu’en ce que 6’ y est remplacé par — 6*.
Il peut y avoir, comme on voit, deux tangentes parallèles à la direction donnée. Elles se confondent en une seule droite passant par le centre quand on a
m* = — ou m = dr - , a* a
et le problème devient impossible quand on a
rn‘ < — ou m < o* a
en valeur absolue; donc, si a désigne l'angle aigu dont la tangente est il faut, pour que le problème soit possible, que la droite donnée fasse, avec l’axe des x, un angle compris entre a et
Remarque. Si l’on cherche les coordonnées des points de contact, on trouve pour a;' et pour y' deux couples de valeurs qui sont égales et de signe contraire. Il en résulte que les deux points de contact sont aux extrémités d’une môme droite passant par le centre.
'237. Si l’on fait y = 0 dans l’équation de la tangente, on trouve
quantité indépendante de b et de y'. Il en résulte, comme pour l’clüpse, que si l’on décrit diverses hyperboles ayant le môme axe transversc, et qu’on leur mène des tangentes aux points qui ont pour abscisse commune ar1, ces tangentes iront toutes couper l’axe transverse en un môme point.
Remarque. La valeur de x étant de môme signe que x il s’ensuit que la tangente coupe l’axe transverse entre la branche d’hyperbole qu’elle touche et le centre, et que par conséquent la tangente passe toujours entre les deux branches.
238. Normale. On trouvera pour l’équation de la normale, au point dont les coordonnées sont x' et y’,
Elle ne diffère de l’équation de la normale à l’ellipse qu'en ce que 6* est changé en — b *.
Pour obtenir le point où la normale coupe l’axe transverse, il faut faire y = 0; ce qui donne
X = X H r OU X = -zX .
L’abscisse x du point de rencontre est donc proportionnelle à l’abscisse x'.
Sa plus petite valeur répond au minimum de x1 qui est a, on trouve alors
quantité plus grande que c. Ainsi, une normale infiniment voisine du sommet rencontre le prolongement de l’axe transverse au delà du foyer, par rapport au centre.
239. Théorème. La tangente à l'hyperbole divise en deux parties égales l’angle des rayons vecteurs. •
Soit MT (fîg. 101) la tangente au point M, et soient MFctMFles rayons vecteurs de ce point. Il.s'agil de démontrer l'égalité
TF MF TF’ — MF"
fl*
Or on a vu, au n° 230, que la distance OT a pour valeur —, en
appelant x l’abscisse du point M. Il en résulte
TF = OF — OT = e — - = ----x x
et
TF’ = 0F’+ 0T = c + ^'=^i-,
d’où
TF ex —
TF' cx-}-<(!’
mais, d’après ce qui a été établi au n* 232, on a aussi
cx^ ^ ex
a ÔT
MF’= — -|-a
cx-f-a’
cToù
MF
ex — a*
MF'
cx + u*
Les rapports ^ et ^7 sont donc égaux, et la droite MT est la bissectrice de l’angle FMF'.
Remarques. I. Il en résulte que la normale MN est la bissectrice de l’angle supplémentaire IMF.
II. Il en résulte encore que si une ellipse et une hyperbole ont les mêmes foyers, les tangentes aux deux courbes, en chaque point d’intersection, sont perpendiculaires entre elles (192).
240. Le théorème précédent fournit un moyen de construire la tangente à l’hyperbole par un point donné.
Supposons d’abord le point donné en M sur la courbe. On mènera les rayons vecteurs MP et MF', on prendra MH =MF, on joindra IIF, puis on abaissera MT perpendiculaire sur HF; la ligne TT' ainsi obtenue sera la tangente demandée, car on aura par construction l’angle II MT = TM F.
241. Supposons, en second lieu, que le point soit donné en P hors de la courbe. Du point P comme centre avec PF pourrayon, on décrira un arc de cercle; du point F' comme centre avec un rayon égal à l’axe transversc 2 a on décrira un second arc de cercle qui coupera le premier en un point H; on joindra FH, et du point P on abaissera sur FH la perpendiculaire PT, qui sera la tangente demandée. En joignant F’H, et prolongeant , on aura le point de contact M.
La construction sera toujours possible quand le point donné P sera extérieur à l’hyperbole dans le sens que nous avons défini plus haut.
En effet, le point P étant extérieur à l’hyperbole, on a (252, Rem. I)
PF' — PF<2a. [1]
De plus, le point P étant supposé plus voisin de F que de F', on a PF<PF', et à plus forte raison
PF < PF' + 2a. [2]
D’ailleurs, le triangle FPF' donne FF' < PF' -f- PF.
A plus forle raison, on aura, puisque 2a est moindre que FF', 2a < PF' + PF. [3]
On tire de l’inégalité [1]
PF' < 2a -f PF,
c’est-à-dire que la distance des centres est moindre que la somme des rayons. Si PF est plus grand que 2a, on tire de l’inégalité [2]
PF' > PF— 2a;
et si PF est moindre que 2 a on lire de l’inégalité [3]
PF' > 2a — PF;
on voit que dans l’un ou l’autre cas la distance des centres est plus grande que la différence des rayons ; donc les arcs de cercle se couperont.
La démonstration serait analogue, si le point P était plus voisin de F' que de F.
Remarques. I. Ces arcs auront deux points communs; ainsi il y aura deux positions pour le point H , et par suite deux tangentes.
II. Si l’on joint le point O, milieu de FF' au point K, milieu de HF, on a une droite parallèle à MF'; cette droite est moitié de F H, par conséquent égale à a. De là ce théorème : Le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées de l’un des foyers d'une hyperbole sur ses tangentes est la circonférence du cercle décrit sur l’axe transverse comme diamètre.
242. Le théorème du n* 259 permet aussi de mener une tangente à l’hyperbole parallèlement à une droite donnée.
Pour cela, du foyer F on abaissera une perpendiculaire Fil sur la direction donnée; et du foyer F’ comme centre, avec un rayon égal à l’axe transversc, on décrira une circonférence qui coupera la perpendiculaire en un point H. Par le milieu K de Fil on mènera une parallèle à la droite donnée, ce sera la tangente deman-
dée. Le point où elle rencontrera le prolongement de F'H sera le point de tangence M.
Pour que le problème soit possible , il faut que le cercle -rencontre la droite FH, ce qui exige que la distance de cette droite au foyer F’ soit moindre que 2 a. Or, si y=zmx-{-n est l’équation
de la droite donnée, celle de FI1 sera y = — - (x — c) , on devra
donc avoir (715)
d’où l’on tire m' >■ — ; — ou
Il faut donc que le coefficient angulaire m soit plus grand que ^
en valeur absolue; ce qui revient à dire, en appelant a l’angle
aigu dont la tangente est que la droite donnée doit faire avec
l’axe des x un angle compris entre a et 1 80° — a. C’est la condition déjà trouvée au n° 230, II.
