S 3. DIAMÈTRES ET CORDES SUPPLÉMENTAIRES
243. Diamètre*. On démontrera, comme au n° 190, que les diamètres de l'hyperbole sont des lignes droites passant par le centre, et réciproquement. D’ailleurs, si l’on désigna par m le coefficient angulaire d’un système de cordes parallèles, et par m' le coefficient angulaire du diamètre qui les divise en deux parties égales, on trouvera qu’il y a entre ces coefficients la relation constante
Celte relation ne diffère de celle du n° 190, qu’en ce que b ’ est changé en — 6'.
GÉOM. ANAL. I 5
Mais tous les diamètres de l’hyperbole ne rencontrent pas la courbe.
Soit y =m'x l’équation d’un diamètre; en la combinant avec celle de l’hyperbole pour obtenir les coordonnées des points de rencontre, on obtient
ab
yjb'—iri'a'
et y=±
m'ab
Pour que ces valeurs soient réelles, il faut qu’on ait
0 ou m'<^ en valeur absolue;
ce qui revient à dire qu’en nommant a l’angle aigu dont la tangente est le diamètre doit faire avec l’axe des x un angle compris entre 0 et », ou entre 180' et 180° — a, pour qu’il rencontre l’hyperbole.
Nous appellerons diamètres transverses ceux qui rencontrent la courbe.
Remarque. Il résulte de la relation [1] que si m' est moindre
que ^ en valeur absolue, m est au contraire plus grand que ~ ; par
conséquent les cordes qu’un diamètre transverse divise en deux parties égales font avec l’axe des x un angle compris entre a et 180“ — ». Celles qui sont divisées en deux parties égales par un diamètre non transverse, font avec l’axe des x un angle compris entre 0 et « ou entre 180° et 180° — a.
214. Théorème, ta taïujcnle à l'extrémité d'un diamètre transversc est parallèle aux cordes que ce diamètre divise en deux parties i égales.
Même démonstration qu’au n° 107.
Remarque. Il résulte de ce théorème que les cordes divisées en deux parties égales par un diamètre transverse ont leurs extrémités sur une môme branche de l’hyperbole: car la tangente à laquelle eUessont parallèles passe entre les deux branches (237,
Hem.); et par conséquent une parallèle à cette tangente ne saurait couper les deux branches à la fois.
Quant aux cordes qui sont divisées en deux parties égales par un diamètre non transverse, il est clair qu’elles ont chacune leurs extrémités sur les deux branches : car une corde qui a ses extrémités sur une même branche ne saurait avoir son milieu entre les deux branches.
24iî. Cordes supplémentaires. On démontrera, comme au n° It)H, qu'en appelant g et p.' les coefficients angulaires de deux cordes supplémentaires, c'est-à-dire de deux cordes joignant un même point de la courbe aux extrémités d’un même diamètre transverse, il y a entre ces coefficients la relation constante
qui ne diffère de celle qui lui correspond dans l’ellipse qu’en ce que 6’ est remplacé par — b *.
On en déduira, comme au n° 109, t” que le diamètre qui divise une corde en deux parties égales est parallèle à la corde supplémentaire; 2° que si l’on mène une corde parallèle à un diamètre transvase donné, la tangente à l’extrémité de ce diamètre est parallèle à la corde supplémentaire.
Il en résulte, connue dans le cas de l’ellipse, un moyen de mener la tangente, soit par un point donné sur la courbe, soit parallèlement à une ligne donnée, pourvu que son coefficient
angulaire soit plus grand que ~ en valeur absolue.
Remarque. Il suit de la définition même des cordes supplémentaires que les extrémités de l’une sont sur une même branche de l’hyperbole, et que les. extrémités de l’autre sont sur les deux branches.
24G. Diamètres conjugués. Dans l’hyperbole, comme dans l’ellipse, on appelle diamètres conjugués deux diamètres parallèles à deux cordes supplémentaires.
Si m et m' sont les coefficients angulaires de ces diamètres, on a, en vertu de la relation démontrée au n° 245,
mm' — ~ [1].
On démontrera la réciproque, comme au n“ 200, c’est-à-dire que si l’on a cette relation entre les coefficients angulaires de deux diamètres, ces diamètres sont parallèles à deux cordes supplémentaires, et par conséquent conjugués.
On verra également, comme au numéro cité, que chacun des deux diamètres conjugués divise en deux parties égales les cordes parallèles à Vautre.
Remarque. 11 résulte de cette propriété que, de deux diamètres conjugués, un seul est transverse; car, s’ils l’étaient tous deux, les extrémités des cordes qu’ils divisent en deux parties égales seraient sur une mémo branche de l’hyperbole (244, Rem.); ces cordes ne seraient donc pas supplémentaires.
On arrive à la même conclusion en se fondant sur la relation [1]; car si le premier diamètre est transverse, on a en valeur absolue
m <- (245) ; par conséquent m'>- 5 ce qui démontre que le se-
(I Oe
coud diamètre ne rencontre pas la courbe.
247. Problème. Étant donnée la direction d’un diamètre, construire son conjugué.
SoitOM (fig. 102) la direction du diamètre donné ; on lui mènera une corde parallèle AD, puis le dinmètre DD' et la corde supplémentaire AD'; la direction PN, parallèle à celle seconde corde, sera celle du conjugué de OM.
On pourrait aussi se contenter de joindre le centre au milieu de la corde AD parallèle au diamètre donné.
Si le diamètre OM est donné par son équation y — mx, celle de son conjugué ON sera
Remarque. Quand a — b, les coefficients angulaires des deux
diamètres conjugués sont m et c’cst-à-dire que dans l’hyperbole
équilalère les diamètres conjugués font avec l'axe des x des angles complémentaires.
248. Angle de deux diamètres conjugués. Soit V l'angle que font entre eux deux diamètres conjugués de l’hyperbole, on aura (74),
tangV
JL
L'angle V ne peut être droit que pour m = 0 ou pour m = » . 6* 6*
Maisdanscecasonaou^ = oo ou^=0; par conséquent lesaxes
de la courbe sont le seul système de diamètres conjugués rectangulaires.
La valeur de tang V peut passer par tous les états de grandeur, excepté par zéro. Pour que tang V soit nul, il faut qu’on ait
Mais alors -j— devient aussi égal à ± - ; par conséquent les deux
CL Tïl CL
diamètres conjugués se confondent en une seule et même droite; or, il n’y a pas, à proprement parler, de diamètre qui corresponde à celte direction: car ces droites, qui ont pour équation
ne rencontrent l’hyperbole qu’à une distance infinie, comme il
est facile de s’en assurer en combinant cette équation avec celle de la courbe.
Nous reviendrons plus loin sur les droites que l'équation cidessus représente, et qui sont les asymptotes de l’hyperbole.
Remarque. L’angle V que font entre eux deux diamètres conjugués, est celui que fait un diamètre transverse avec la tangente menée à son extrémité; c’est aussi l’angle de deux cordes supplémentaires. On voit que cet angle peut prendre tontes les valeurs, excepté la valeur zéro, qui répondrait à un point situé sur la courbe à une distance infinie.
240. Soit d la longueur du demi-diamètre transversc qui a pour équation
y = mx.
En combinant cette équation avec celle de l'hyperbole,
on trouve
Par suite
a*té
té — a’m’
et
té — (W
Le diamètre étant supposé transversc on a m’< -, et par conséquent la valeur de cP est positive.
Si, dans cette expression, on remplace le coefficient angulaire™ par celui qui convient au conjugué du diamètre transverse consité
déré, c’est-à-dire par , on obtient, après réduction,
quantité évidemment négative ; on peut donc poser,
__ aW + té — a*r/é — té
ou
flbn’ + té d b' — (Pin*
La quantité d' est ce que l’on appelle, par analogie, la longueur du demi-diamètre conjugué de celui dont la longueur est d.
Si l’on veut déterminer m de manière que d=d', on n’aura qu'à égaler les numérateurs des expressions [1] et [2], ce qui donne
d’où
Mais on a vu (248) qu’à cette valeur de m correspondent deux diamètres conjugués qui se confondent en un seul et ne rencontrent la courbe qu’à une distance infinie. Il n’y a donc pas, à proprement parler, de diamètres conjugués égaux, lorsque a est différent de b.
Remarque. Quand a = b, le facteur a* — b ’ est nul, et l’équation ci-dessus cSt satisfaite quel que soit m; c’est-à-dire que dans l’hyperbole équilatère les diamètres conjugués sont égaux.
280. Théorème. La différence des carrés de deux diamètres conjugués est constante (et égale à la différence des carrés des axes).
En effet, si nous retranchons membre à membre les relations [1] et [2] du numéro précédent, nous obtiendrons
d’où
ce qui démontre le théorème.
281. Théorème. L’aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est constante (et égale au rectangle construit sur les axes).
Pour le prouver, évaluons l’aire du parallélogramme construit sur les deux demi-diamètres conjugués d et d' faisant entre eux l’angle V ; celle aire sera le quart de l’aire du parallélogramme . construit sur les diamètres entiers. Si la première est constante,
il en sera de môme de la seconde. Or, en désignant la première par S, on a
S = dd' sin V, d’où S’=d,d'* sin* V.
On a trouvé au n° 248
^ d0Ùtang V=( a»-H*)»m»’
Par suite sin* V =
(a'm'— fc»)»
En substituant dans la valeur de S’ celles de (P, de d'*et de sin’ V, on trouve
b' — a'm' ‘ b'—a'm' ' (a'm'-\-b')(m'-\-\y ou
S* = a'b', d’où S = ab, ce qui démontre le théorème.
282. Théorème. L'équation de l'hyperbole rapportée à un système de diamètres conjugués est de mente forme que l'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes.
En effet, chacun de ces diamètres divisant en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre (240), il en résulte que si les coordonnées sont comptées parallèlement à ces axes, à chaque valeur de a: ou de y correspondront deux valeurs de y ou de a: égales et de signe contraire, ce qui exige que l’équation ne contienne que des puissances paires de y et de x. Gomme elle est du second degré (88), elle sera de la forme
Mx*4-Ny’=P.
Soit a' le dcmi-diamèire transverse suivant lequel nous supposerons que l’on compte les x, et b' le demi-diamètre (non transverse) suivant lequel sc comptent les y, on a
pour y = 0, x = ±a',
et pour # = 0, y — ±b'<J — 1,
ce qui donne M = a* et N = —
d’où M = -7î et N = — nj.
Substituant, et supprimant le facteur P, on obtient
* a'* br,~~ ’
ce qu’il s’agissait de démontrer.
Remarques. I. Quand l’hyperbole est équilatère, on a a! — b' \ car les valeurs [1] et [2] du n° 249 se réduisent toutes deux à
L’équation de la courbe rapportée à deux diamètres conjugués, dont la longueur commune est a', est donc
^-X=l ou x' — y'^a''.
II. Les propriétés démontrées aux nc* 254, 235, 230 et 245 à 246 ne supposent pas que les axes coordonnés soient rectangulaires ; elles subsistent donc encore lorsque l’hyperbole est rapportée à un système de diamètres conjugués.
Ainsi, l’équation de la tangente au point {x1, y') est
xx' yy' a'* 6‘ ’
L’équation de la tangente parallèle à la droite représentée par
y = mx est
y = mx dt v^o'Vn* — b'1 ■
Les coefficients angulaires m et m' de deux cordes supplémentaires, ou d’une corde et du diamètre qui la divise en deux parties égales, ou encore de deux diamètres conjugués, satisfont à la relation
mm = -c.
