ASYMPTOTES
1233. Éqnntions des asymptotes. En suivant la marche indiquée au n° 125, on trouverait que les asymptotes de l’hyperbole rapportée à son centre et à ses axes ont pour équations
Mais on peut y arriver directement et sans connaître la théorie générale des asymptotes des courbes algébriques.
L’équation de l’hyperbole peut être mise sous la forme
il suffit pour cela de la résoudre par rapport à y, de multiplier le second membre par x, et de diviser en même temps par x? sous le radical.
On remarque alors qu’à mesure que la valeur absolue de x augmente, c’est-à-dire à mesure que l’on considère uij point de plus
en plus éloigné de l’origine, le terme -t diminue, et peut devenir
moindre que toute quantité donnée; en sorte que les valeurs de y tendent à' se réduire à celles qui sont données par l’équation [1]. En d’autres termes, l’hyperbole approche d’autant plus de se confondre avec l’une des droites représentées par l’équation [1] qu’elle s’éloigne davantage de son centre.
Pour mieux comparer la courbe avec ces droites, considérons d’abord la demi-branche d’hyperbole pour laquelle les coordonnées x et y sont positives; écrivons simplement
y =^y,xt — a *
et posons
On tire de ces deux équations ,
Y — y = ^(x—*/xF— a'),
ou, en multipliant et en divisant en même temps parE-f-v/J^-fl’,
b a * ab
On voit qu’à mesure que x augmente la différence Y — y diminue, et qu’elle peut devenir aussi petite qu’on voudra, puisque x peut croître indéfiniment. La branche de courbe représentée par l’équation [3] approche donc indéfiniment de la droite représentée par l’équation [4].
De la symétrie de la courbe par rapport aux axes, on conclut que ses quatre demi-branches approchent indéfiniment des droites qui ont pour équations
le signe supérieur convenant à la droite dont s’approchent la demibranche supérieure àdroite et la demi-branche inférieureà gauche, et le signe inférieur à la droite dont s’approchent la demi-branche supérieure à gauche et la demi-branche inférieure à droite.
Ces droites sont les asymptotes de l’hyperbole. On voit, par leurs équations, qu’elles coïncident avec les diagonales du rectangle construit sur les axes.
Remarques. I. Si l’hyperbole est équilatère, les asymptotes sont
les bissectrices des angles des axes ; et par conséquent elles sont perpendiculaires entre elles.
II. Les asymptotes rencontrent l’hyperbole à l’infini; et ce sont les seules droites menées par le centre qui jouissent de cette propriété : car si l’on combine l’équation y — mx avec celle de l'hyperbole, on obtient
(6* — a,m,)xJ — a’6* = 0 ;
et pour que cette équation ait des racines infinies, il faut qu’on ait
6* — a’m* = 0 ; d’où m — dz-,
ce qui montre que la droite y = m.r doit coïncider avec l’une des asymptotes.
234. Les directions représentées par les équations y = db * x
ont joué, dans les précédents paragraphes de ce chapitre, un rôle qu’il est utile de rappeler.
On a vu au n° 236 qu'on ne peut mener une tangente à l’hyperbole, parallèlement à une droite donnée, qu’autant que cette droite fait avec l’axe transverse un angle plus grand que l’angle *,
dont la tangente est mais moindre que son supplément 180°— a.
Gela revient à dire que le problème n’est possible que si une parallèle menée à la droite donnée, par le centre de la courbe, est dirigée dans l’angle SOS’ (fig. 100) que forment les moitiés supérieures des deux asymptotes.
On a vu au n° 245 que pour qu’un diamètre soit transverse, il faut qu’il fasse avec l’axe des x un angle compris entre 0 et « ou entre 180° et 180° — a. Cela revient à dire que ce diamètre doit être dirigé dans l’angle SOT’ formé parles asymptotes à droite du centre, ou dans son opposé S'OT.
On a vu au n° 246 que deux diamètres conjugués peuvent faire entre eux tous les angles possibles, excepté un angle nul, parce qu’ils se confondent dans ce cas en une seule direction dont le
coefficient angulaire est ±^. Cette direction limite est celle des
asymptotes. D’après ce qui a été dit au n° 249, elle correspond aussi aux diamètres conjugués égaux.
2üJ. Chaque asymptote de l’hyperbole peut être considérée comme la limite dont s’approche indéfiniment la tangente à la courbe à mesure que le point de contact s’éloigne du sommet.
En effet, l'équation de la tangente (25o) peut s’écrire.
Or, si le point de contact est indéfiniment éloigné, ona— ,=
et ^ = 0; l'équation de la tangente devient alors
y = zh-x J a
et cette droite se confond par conséquent avec l’une des asymptotes.
2i>0. Théorème. Les asymptotes coïncident avec les diagonales dv parallélogramme formé sur deux diamètres conjugués quelconques.
Prenons pour axes coordonnés les deux diamètres conjugués dont il s’agit, l’équation de l’hyperbole sera de la forme (2iî2)
Soit y = mx l’équation d’une droite menée par le centre. En éliminant y, on obtient
(b,'—a,,m')x1—a',b'i = 0; équation qui a des racines infinies lorsqu’on a
wi = ± — .
Les équations 'y =±-, a; sont donc celles des asymptotes (2iS5, Rem. II) ; mais ces équations sont aussi celles des diago-
nales du parallélogramme conslruil sur les deux diamètres conjugués. Les asymptotes coïncident donc avec ces diagonales.
2i>7 .Théorème. Les portions iT une sécante comprises entre l'hyperbole et sa asymptotes sont égala entre elles.
Soit MM' (fig. 103) la sécante donnée, qui rencontre en N et N' les asymptotes.
Prenons pour axes coordonnés la droite OX qui passe par le centre et par le milieu de la sécante, et la droite OY parallèle à cette sécante. La courbe sera rapportée à un système de diamètres conjugués (240), et les équations des asymptotes seront de la forme
j /=±ffli.
Si donc, dans ces équations, on fait æ = OP, on aura pour y deux valeurs égales, au signe près;
donc NP=N'P.
Mais par construction MP=M'P;
donc MX — M'N',
ce qu’il s’agissait de démontrer.
Xiî3. Ce théorème fournil un moyeu expéditif de construire l'hyperbole, quand on connaît les asymptotes et un point.
donné. Par ce point on mènera une sécante quelconque; elle coupera les asymptotes en deux points N et N'; on prendra N'M'= NM, et le point M' ainsi obtenu sera un point de l’hyperbole.
En opérant sur de nouvelles sécantes menées, soit par le même point M, soit par quelques-uns de ceux qu’on aura déterminés, on obtiendra autant de points de la courbe qu’on voudra. En faisant passer par oes points une courbe continue, on aura l’hyperbole avec le degré d’a, proximation que comporte le dessin.
Remarque. Le môme théorème servirait à tracer la courbe, connaissant une seule asymptote et trois points; car on obtiendrait sur-le-champ deux points de la seconde asjmptote.
239. Corollaire. La portion cf une tangente comprise entre les asymptotes est divisée en deux parties égales par le point de contact.
Soit en effet nn' (fig. 103) une tangente au point m. Menons une sécante NN' parallèle à celte tangente, et qui rencontre la courbe aux points M et M’. Le diamètre O m divisera la corde MM' en deux parties égales (244), et l’on aura PM=PM'. Mais, en vertu (ht théorème du n° 2u7, on a MN=M'N'. Donc 1*N=PN'. Par suite, à cause du parallélisme, mn=mn'.
On aurait pu se contenter de remarquer qu’une tangente nn' à l’hyperbole est la limite vers laquelle tend une sécante NN' qui se meut parallèlement à elle-mèine, lorsque les deux points d’intersection M et M' se confondent en un seul m. Et puisqu’on a constamment MN=M’N', on doit avoir aussi à la limite mn = mn' .
De là un moyen très-simple de mener la tangente en un point donné m. On mènera mp parallèle à l’une des asymptotes; on prendra pn'=Op, et par les points ni et m on mènera la droite nn', qui sera la tangente demandée ;
mn On , ,
car on aura — ; = — ,5 donc mn — mn.
mn pn
2CO. Connaissant les asymptotes et un point, on en déduit immédiatement un système de diamètres conjugués.
2iO GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.
Si m csl le point donné, on mène comme ci-dessus la tangente nn' en ce point ; on joint O m et l’on mène O Y parallèle à nn'. Les directions 0>n et OY sont celles de deux diamètres conjugués (244); leurs longueurs sont O m et mn (286).
261. Théorème. Le rectangle des parties d'uns sécante comprises entre un point de la courbe et les asymptotes est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la sécante.
Soit MM' (fig. 103) la sécante considérée qui rencontre les asymptotes aux points N et N'. Prenons pour axe des x le diamètre qui divise MM' en deux parties égales, et pour axe des y une parallèle OY à la sécante. La courbe sera rapportée à un système de diamètres conjugués ; et l’on aura, dans le cas de la première figure,
d’où
MP ou
On aura aussi (280) K P* = —, x*;
donc NP — SïP = 6'* ou (NP — MP)(NP + MP) = b"; mais NP — MP = MN et NP+MP = N'P-f MP = MN : donc, enfin, MN.MN' = b'*;
cc qu’il fallait démontrer.
Dans le cas de la seconde figure, on aura
d’où MP ou y1—
d’ailleurs NP = ^r:rl:
donc MP* — RP*=a'* ou (MP — NP) (MP -f- NP) = a'*;
mais MP — NP = MN et MP+NP = MP+N'P = MN ; donc, enfin, MN.MN' = o'*,
ce qu’il s’agissait de démontrer.
262. Problème. Construire les axes de l'hyperbole, étant donné un système de diamètres conjugués.
Soient OG el OD (fig. 104) deux diamètres conjugués; et supposons que OD soit le diamètre transverse, c’est-à-dire que le point I) soit sur la courbe. Par le point D menons une parallèle à OC ; prenons sur cette parallèle DF, = DF = OC, et joignons OE et OF; ce seront les asymptotes de l’hyperbole (2iî6). Menons les bisseclrices OX et OY des angles formés par les asymptotes, nous aurons les directions des axes, et OX sera celle de l’axe transverse, puisque le point D étant un point de la courbe, l’une des branches est située dans l’angle EOF et l’autre dans son opposé.
Pour avoir les longueurs des demi-axes, menons par le point D une parallèle àOX; elle rencontrera les asymptotes en des points N et N' ; cherchons la moyenne géométrique entre DN et ON', et portons-la de O en A; le point A sera l’un des sommets de l’hyperbole. Élevons enfin AB perpendiculaire à OX, jusqu’à la rencontre de l’asymptote OE ; la longueur AB sera celle du demi-axe non transverse (261).
265. Équation aux asymptotes. L’équation de l’hyperbole prend une forme très-simple quand on rapporte cette courbe à ses asymptotes.
Partons de l’équation de la courbe rapportée à ses axes
GÉOM. ANAL.
et faisons usage des formules qui servent à passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques, sans changer l'origine, savoir :
x = x' cos a + y' cos *' et y = a;’ sin a +»/ sina'.
Si nous prenons pour axe des xl l'asymptote qui passe audessous du sommet A (fig. 105), et pour axe des y' celle qui passe au-dessus de ce sommet, nous aurons
tanga = -, dou sin.=—^ = -t> et
tang «'=+“> d'où 8in“'=+^= = + ^ et Les formules de transformation deviennent donc
x=-x+-y et y=— -x' + -y',
ou
X ïf + x’
et £=- •
cos « = 4- - , 1 c
COSa = + -.
Substituant ces valeurs dans [IJ, on obtient
1, d’où x'y' = \c' [8],
Fig. 105.
c’est-à-dire que le rectangle des coordonnées MP et MQ (fig. 105) d’un môme point M est constant.
Remarques. I. Il résulte de là que le parallélogramme OPMQ compris entre ces coordonnées et les asymptotes est également constant, car il a pour expression
MP.MQ.sinQOP ou x'y'siné,
en appelant 6 l’angle des asymptotes.'ou enfin Jc’sinô.
