S. AIRE D'OR SEGMENT D'HYPERBOLE
265. Nous nous proposons, dans ce paragraphe, d'évaluer faire comprise entre l'arc d'hyperbole BM (6g. 106), l'asymptote OX, et les ordonnées BA et MP parallèles à l’asymptote OY.
Nous rappellerons d’abord que la différence des dérivées de deux fonctions d'une même variable est égale & la dérivée de la différence de ces deux fonctions; par conséquent, si les dérivées de deux fonctions sont constamment égales, ces fonctions ne peuvent différer que d’une quantité dont la dérivée est constamment nulle, c’est-à-dire d'une constante. En d'autres termes, si l'on a, pour toutes les valeurs de x,
8i4 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, on aura F (z) = f{z) -f constante.
Cela posé, remarquons que si l'abscisse OA est supposée constante, et l’abscisse OP variable, l’aire ABMP variera avec x et pourra être considérée comme une fonction d e x. Désignons-la par * (x).
Soit maintenant M‘ un point de l'hyperbole infiniment voisin du point M. Menons l'ordonnée M'P' et les droites MK et M'I parallèles à OX. Appelons a la distance PP" et p la distance MI ou M'K. Soit enfin 8 l'angle des asymptotes. On aura :
ç(x) = ÀBMP, f(* + a) = ABM'P’, d’où ç(x + a) — *(*)= ABM'P' — ABMP := PMM'P'
et »(* + q)-tp<«)PMMlP‘
Or on a évidemment PIM'P' < PMM'P* < PMKP',
ou , en mettant pour les parallélogrammes PIM'P' et PMKP' leurs expressions ,
(y — p)z sin8 < PMM'P* < ya sin 8, pMMipr
d'ou (y — p)sin6< — : — < y sin 8 [2].
Si l'on suppose que le point M' se rapproche indéfiniment du point M, a et p tendront en même temps vers zéro; le premier membre des inégalités [2[ aura pour limite y sin 8 , c’est-à-dire la valeur du troisième membre. Cette quantité est donc aussi la limite du second, et l'on a
PMM'P . .
lim = y sin 8.
L'é luation fl] donne en conséquence
., ç(z-fa) — ç(x) .. PMM'P . „
lim ' — — =lna =ysin 8,
oc a
ou , en remarquant que le premier membre est, par définition , la dérivée de f(z) par rapport à z,
ç'(x)=ysin8 [3].
Si maintenant de l’équation de l'hyperbole
zy = m’
on tire la valeur de y en z pour la substituer dans l'équation [3] , on obtient ç’(z) = m1 sin 8.-L
Mail i est la dérivée du logarithme népérien de z; le second membre de l'équation ci-dessus est donc la dérivée de m’ sin 8. log'. z, en désignant par log'. z le
logarithme népérien de x. En vertu de la propriété analytique rappelée en commençant , on aura donc
f(r) ou ABMP = m’ sin O.log'x + C.
La constante arbitraire C se déterminera en remarquant que ç(x) doit se réduire i zéro pour x = OA. Si donc l’abscisse OA est représentée par u , on aura
0 = m* sin 6. log1 u + C , d’où C = — m’ sin 0. log' u ,
et par suite
ABHPcrm’ siné. (log'x — log*. u)= m’ sin 8. log'^ [4].
Dans le cas où OA est l’unité, il reste simplement
ABMl’ = m,sin6. log'x [5J.
266. Posons , pour abréger , ABMP = 9 et m: sin 8= l'équation [5J pourra s’écrire :
n? — log" x , d’où e"? = x,
en désignant par e la base des logarithmes népériens. Mais si l’on pose e* = B , on aura
Bf=x.
L’aire considérée est donc le logarithme de l’abscisse x dans le système dont la
base est B, ou e", ou encore
Si l’hyperbole est équilatère, et qu’on prenne pour unité de longueur la ligne m , la quantité m’ sin 9 se réduira à 1 , et l’aire désignée par 9 sera le logarithme népérien de l’abscisse x.
C'est pour cette raison que les logarithmes népériens portent aussi le nom de logarithmes hyperboliques.
$ 6. exercices et applications*.
267. Théorème. Le demi-axe non transverse est moyen proportionnel entre les perpendiculaires abaissées des deux foyers sur chaque tangente.
Même démonstration qu’au n* 209, avec celte seule différence que les foyers ét^nt situés de part et d’autre de la tangente, le radical \/l + m* doit être pris avec des signes contraires dans les expressions des perpendiculaires p et pf.
26*. Théorème. Si par un point M de l'hyperbole on mène une parallèle d l'asymptote OS, jusqu'à la rencontre de la directrice DL. la longueur MK de cette parallèle est égale au rayon vecteur MF du point considéré.
* Le lecteur est prié de faire les figures qui manquent.
Soient x, y les coordonnées du point K, et x', y1 celles du point U. La droite MK étant parallèle à l'asymptote OS, on aura
et par conséquent
D’aiUeurs le point K étant sur la directrice , on a % = — , et par suite
d’où MK = — — a,
es!
attendu que — est plus grand que a. Donc enfin MK = MF.
La démonstration serait la même pour un autre foyer et une autre directrice.
269. Théorème. Si par les différents points d'une droite LL' on mène à l'hyperbole des couples de tangentes, telles que NM , NM', les cordes de contact , telles que NM', passent toutes par un point fixe.
Même démonstration qu’au n* 212 Elle donne lieu aux mêmes remarques.
270. Théohèkk. Si par deux points M' et M" d’une hyperbole on mène des parallèles aux asymptotes, elles se rencontrent sur le diamètre qui divise la corde MM* en deux parties égaler.
Prenons pour axes les asymptotes : soient x' . y* les coordonnées du point M’ et x* , y" celles du point M". Celles du point de rencontre P des droites M'P et MT, parallèles aux asymptotes, seront a f et y".
Or les coordonnées du milieu I de la corde M'M" étant } [x! ■+■ x") et } (y' -f y*) , l'équation du diamètre 01 sera
«=i±am.
Cette équation est satisfaite quand on y fait x = si et y = y"; car il rient, en faisant disparaître le dénominateur,
t'T*' + *") = (y* + y")1' ou x'y"=*'y',
quantités qui sont effectivement égales, puisque l’équation de l’hyperbole, rapportée è ses asymptotes, est de la forme xy = constante.
271. ThéobIme. Si ton a deux tangentes parallèles KL , KV coupées aux points T et V par une troisième tangente TT', les portions DT et DT' des tangentes parallèles comprises entre les points de contact O et D‘ et la troisième tangente ,
ont pour moyenne proportionnelle le demi-diamètre OE parallèle aux deux premiiret.
Même démonstration qu'au n" 211, avec cette seule différence que les ordonnées DT et DT sont de signes contraires.
272. Thêobème. Si, dans une hyperbole équilatère, on mine, d’uns branche à l'autre, des cordes, telles que Ah1, parallèles à une direction donnée, et que sur chacune d’elles comme diamètre on décrive une circonférence, ces circonférences passeront toutes par les extrémités B et B' du diamètre perpendiculaire à celui qui divise en deux parties égales les cordes parallèles.
Prenons pour ares le diamètre OY , qui divise les cordes en deux parties égales, et son conjugué OX qui leur est parallèle. En nommant»' la longueur du diamètre OD, l’équation de la courbe sera (272 , Rem. 1)
x' — y' = an fl].
Si *' et \f sont les coordonnées du point A , on aura de même
sn-y^—a» [2].
L’équation du cercle qui a son centre en C et pour rayon CA, sera donc
at* + (y — V')1 + 2x{y - yO cos 6 = *•,
en appelant 0 l’angle des axes. Cette équation, lorsqu'on développe et que l’on met pour x” sa valeur tirée de [2] , prend la forme
*5+y’~ 2y'y + 2xy cos 8 — 2*/ cos 0 = a'1 [3].
Cette relation devient indépendante de y1, et par conséquent de 1a poeilion de 1a corde AA', quand on pose
y+xcos8=0 [4]t
équation quiestcelle d'une droite menée parl’origine perpendiculairement à l’aie des y (76). Les circonférences représentées par l’équation [3] passent donc toutes par les points dont les coordonnées x et y satisfont i la fois aux équations [3] et [4]s
Or de [4] on tire x cos 8 = — y : cette valeur , mise dans [3] , la réduit à tc‘ — y*=an.
Donc les points fixes dont il s’agit sont sur l'hyperbole et comme on sait déjà qu'ils sont sur le diamètre perpendiculaire à OY, il s’ensuit que ces points B* sont autres que les points B et B'.
273. Problème. Étant donné un arc Shyperbole, décrire la courbe.
On déterminera le centre comme au n* 214 : ce point sera situé du côté de convexité de la courbe. En appliquant le théorème du n* 271 , on obtiendra même un système de diamètres conjugués. Les diagonales du parallélogramme construit sur ces diamètres seront les asymptotes. On aura dèa lors tous les éléments nécessaires pour obtenir autant de points de là courbe qu’on voudra (258).
S74. Problêm*. Étant données deux droites fixes OH et OU, on leur mène des sécantes parallèles , telles que AB , sur chacune desquelles on prend un point M tel qu'on ail AM. MB = m' (m flan! une ligne donnée). On demande le lieu du point 11.
Prenons pour axes la droite OX qui divise en deux parties égales chacune des sécantes considérées, et la droite O Y parallèle à ces mêmes sécantes. Les équations des droites OH et OK, rapportées à ces axes, seront de la forme
y = ax et y= — ax,
attendu que pour une même valeur de *, elles doivent donner deux valeurs de y égales et de signe contraire. Soient x et y les coordonnées du point M. On aura
AM = AI + IM = ax' + y'
et
BM = 1B— IM = o*' — y';
donc
AM.MB = aV — y'î=m1.
Telle est l’équation du lieu. C'est celle d'une hyperbole dont les asymptotes ont pour équation y =±o *; ces asymptotes sont donc les droites données OHetOK.
27:;. Pkoblème. D'un point donné on mène des tangentes à toutes les hyperboles qui ont pour asymptotes deux droites données, on demande le lieu du point de contact.
Si on prend pour aies les asymptotes données, une des hyperboles aura pour équation xy = c : la lettre c représentant une constante quelconque, positive ou négative , et l'équation de la tangente au point (x/ , y') sera (2(i4)
JL + J- = I.
ïa’^îy' 1
Les coordonnées a et p du point donné devant satisfaire à l’équation de la tangente , on aura
iL + -L-J
équation du lieu, si on considère sf et y' comme variables. Faisant disparaître les dénominateurs, transposant et effaçant les accents, on obtient
ixy — ay — pi = 0.
Cette équation est celle d’une hyperbole, qui passe par l’origine et par le point donné , ce qu’il e<U été facile de prévoir. Elle a pour asymptotes (151) les droites représentées par les équations
1x — a=0 et
c'est-à-dire deux parallèles aux axes , menées par le milieu de la droite qui joint l'origine au point donDé.
276- Problème. Trourer le lieu des points d'où l'on peut mener ù l’hyperbole deux tangentes perpendiculaires entre elles.
Môme solution qu'au nD 248. Le problème n’est possible que pour a > b. Dans le cas de l'hyperbole équilatère , le lieu se réduit i un point.
277. Problème. Étant données deux droites qui se coupent, on leur mine une sécante qui intercepte avec ces droites un triangle équivalent à un carré donné m’. On demande le lieu des centres de gravité des triangles ainsi formés.
Prenons pour axes les droites Ries ; l’équation de la sécante pourra être présentée sous la forme
et si 6 est l’angle des axes, on devra avoir entre les valeurs de a et de h la relation
± J ob sin 6 = m! [i],
le signe étant choisi de manière que le premier membre soit positif.
Mais il est aisé de voir qu’en appelant x et y les coordonnées du centre de gravité du triangle formé par les trois droites, on a, quels que soient les signes de a et de b.
x = \a et y = jb, d’où a = 3x et b = 3y.
Mettant pour a et b ces valeurs dans l’équation [I], on obtient l’équation du lieu,
±rîiysin8 = m1 ou xy=±, -.
9 sin 6
C'est celle d’une hyperbole qui a pour asymptotes les droites données.
Le signe -f donne une hyperbole située dans le premier et le troisième angle formés par les axes ; le signe — donne une hyperbole située dans le second angle et dans le quatrième.
Ces courbes répondent toutes deux à la question.
278. Problème. Trourer le lieu des points M tels que si, par chacun d’eur, on mine des parallèles MH et MO aux asymptotes d’une hyperbole donnée, le polygone mixtiligne OPDEQO compris entre les asymptotes, leurs parallèles et la courbe, soit équivalent à un carré donné a1.
Soit xy=m: l’équation de l’hyperbole donnée, rapportée à ses asymptotes Soit C le sommet de la courbe, lequel aura pour coordonnées x = m et y = m, puisqu'il est situé sur la bissectrice de l'angle TOX. Enfin , soit 9 l’angle des axes ; et soient x et y les coordonnées du point M.
Par le point C menons CA et CB parallèles aux asymptotes. On aura , en vertu de la formule établie au n* 265,
ÀCDP = jn’sinfl-log'.
BCKQ — m’ sin 8.1o£. — }
d’ailleurs . ACBO=m,sin6,
donc OPDEQO=m’sinO ^log1. £ + log1. ^!+ l)
ou OPDEQO=m5 sin 6.log'. —, + m’sin fl.
TFT
L’équation qui exprime la condition du problème sera donc
m1 sin 0 . Iog\ -f m* sin 0 = aJ.
, m’siol
d ou 1 on tire xy = m7e
c’est l'équation du lieu. On voit que c'est une hyperbole ayant le* mêmes asymptotes que la proposée.
Si l’on avait a^m1 sin fl, l'équation du lieu se réduirait &
xy = m,I
c’est-à-dire que ce serait l'hyperbole donnée elle-même, ce à quoi on pouvait s’attendre.
279. Le lecteur pourra s'exercer sur les questions suivantes :
I. Si l'on joint un foyer de l'hyperbole avec le point od la directrice correspondante rencontre une tangente donnée, la ligne de jonction sera perpendiculaire au rayon vecteur du point de contact.
II. La moyenne géométrique entre les deux rayons vecteurs d'un même point de l'hyperbole est le demi-diamètre conjugué de celui qui aboutit d ce point.
III. Si Ton joint deux points m et m’ d’une hyperbole aux extrémités A et B d’un même diamètre, et que l’on mène la diagonale nn’du quadrilatère déterminé par les quatre lignes de jonction, cette diagonale sera parallèle à la tangente TT menée d Tune des extrémités A du diamètre.
IV. Un triangle ayant ses trois sommets sur une hyperbole, si Von fait varier l’un d’eux, les cités qui y aboutissent intercepteront sur chaque asymptote un tegment de longueur constante.
V. Trouver le lieu des centres des cercles tangents à deux cercles donnés.
VI. On mène, parallèlement à une direction donnée, des normales à une série d'hyperboles ayant les mêmes asymptotes; on demande le lieu des points ou cet normales rencontrent normalement les hyperboles correspondantes.
VII. Étant données deux droites OH, OK gui se coupent, et un point fixe P, on mène par ce point une sécante quelconque ; et par les points A et B où elle rencontre chacune des droites fixes, on mène une parallèle d l’autre. On demande le lieu du point de rencontre K de ces parallèles.
VIII. Trouver le lieu des intersections des perpendiculaires abaissées des foyers d’une hyperbole sur deux diamètres conjugués quelconques.
IX. Étant dorutlet deux hyperboles qui ont leurs asymptotes respectivement parallèles, trouver le lieu des points où chaque diamètre de l’une rencontre le conjugué de son parallèle dans l’autre.
X. On a deux cercles égaux C et C', qui ne se coupent pat. Par le milieu O de la distance des centres, on mène une sécante quelconque; elle rencontre les deux circonférences en des points K et K’; on joint CK et C'K', qui, prolongées, se coupent en un point M. On demande le lieu du point M.
XI. Même question pour deux cercles de rayons inégaux, et quelle que soit la distance de leurs centres.
XII. On mène par deux points fixes une série de circonférences, et, dans chacune d’elles, un diamètre parallèle à une même direction donnée; on demande le lieu des extrémités de ces diamètres.
280. Applications. I. Lorsque la corde d’un réverbère varie de longueur, c'està-dire quand le réverbère descend ou monte, les positions d’équilibre de la poulie à laquelle il est fixé sont sur une branche d’hyperbole équilatère qui a une asymptote verticale.
Soient A et B (fig. 107) les points de suspension, et H une position particulière de la poulie. Prenons un axe horizontal AX et nn axe vertical AT; menons MI et BD qui rencontrent l’axe des y en I et D; joignons MA et MB, qui, prolongé, rencontre AT en C. Faisons BD =: 2a et
AD=2h: et soient x et y les coordonnées IM et IA du point M. La similitude des triangles CIM et CDB donne
ou, comme CI = AI (493)
a CD IM DB
