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c'est-à-dire

x la ’

d'où xy + lx — ay— 0;

c e>l l'équation d’une hyperbole dont les asymptotes ont pour équations x—a et y— — b.

Ces asymptotes sont donc l’une verticale, l'autre horizontale: elles passent par le milieu O de la distance AB des points de suspension. L'hyperbole est équilalère, puisque les asymptotes sont perpendiculaires entre elles.

281. II. La perspective d'un cercle peut être une hyperbole. Ce cas se présente notamment lorsque, le cercle étant horizontal, son centre est en avant du plan du tableau à la même distance que le spectateur.

Si A'A (fig. 108) est alors la projection du diamètre du cercle parallèle au tableau sur ce tableau même; et si B et B' sont les points où la circonférence du cercle rencontre l'horizontale AA', on démontre que les droites PA et PA' menées de A et A' au point de vue sont les asymptotes de l’arc BCB' qu’il s’agit de tracer. Ayant les asymptotes et un point A, on a vu (258) comment on pouvait construire la courbe.

Fig. 10S.

Remarque. Les ombres et la perspective des ombres fourniraient de nombreuses applications de l’hyperbole.

282. III. Beaucoup de fonctions peuvent être représentées par des hyperboles; nous n’en donnons qu’un petit nombre d’exemples.

Dans les ponts suspendus, la tension T de la chaîne ou du câble varie suivant le point que l’on considère; et si Q est la tension au point le plus bas, x la distance horizontale de ce point le plus bas A celui où la tension est T, enfin si k désigne une constante, on démontre qu’on a la relation

T=V'Q, + kV.

La tension T varie donc comme l’ordonnée d’une hyperbole dont l’abscisse serait x; cette hyperbole a son centre à l’origine; son axe transverse est dirigé parallèlement aux ordonnées, et a pour valeur 2Q; le rapport des deux axes est k. Pour des valeurs données de Q et de k, il serait donc facile de construire la courbe.

IV. Dans un cours d’eau , tous les filets liquides n’ont pas la même vitesse ; et

en nommant V la vitesse maximum qui a lieu vers le milieu de la surface, et U la vitesse moyenne du courant, l’expérience a appris que l’on avait sensiblement

Les quantités U et V peuvent être regardées comme l’ordonnée et l’abscisse d'une courbe qu’il est facile de construire; car si on tes remplace par y et x, qu’on chasse les dénominateurs et qu’on transpose, on obtient :

xy — x,4-3,15y — 2,37x=0, .

équation d'une hyperbole, qui passe à l’origine, et qui a pour asymptotes les

droites représentées par les équations

y = x et x= — 3,15.

Connaissant les asymptotes et un point, on pourra tracer la courbe, qui a la forme indiquée par la figure 109. Dans l’application on ne considère que la portion de courbe comprise dans l’angle YOX, pour laquelle x et y ou U et V sont positifs.

V. Le travail de la détente, dans les ma. ch nés à vapeur, s'évalue comme l'aire d'une hyperbole. Soit P. la pression de la vapeur au moment où la détente commence, c’est-àdire au moment où la vapeur cesse d'affluer de la chaudière, le piston continuant sa course. Soit h, la hauteur du cylindre occupé à cet instant par la vapeur. Soit de même P la pression de la vapeur à l’instant où le cylindre qu’elle occupe a pris la hauteur h. En vertu de la loi de Mariotte, qui, d'après l’expérience, est applicable à ce cas, les pressions P„ et P seront en raison inverse des volumes correspondants occupés par la vapeur, ou, puisque ces volumes sont des cylindres de même base, en raison inverse des hauteurs ht et h. On aura donc

£ = d’où Ph=P J>.

Les quantités P et h varient donc comme

Fig. lto.

aurait pour base l’ordonnée HQ ou P,

les coordonnées d'une hyperbole rapportée à ses asymptotes (que rien n’empêche de supposer rectangulaires). Soit CD (fig . 110) un arc de cette courbe.

Le travail élémentaire de la force P est le produit de cette force par l'élément de chemin que décrit le piston, c’est-à-dire par l'élément de la hauteur h. Ce produit est représenté par un petit rectangle qui pour hauteur l’élément QQ’ de h. Le

travail total de la force P sera donc représenté par la somme de tous les petits rectangles analogues . Or cette somme a pour limite l’aire ABDC comprise entre les ordonnées AC et BD qui représentent les valeurs extrêmes de P. Le travail de P s'évaluera donc comme cette aire.

Soient h, et H les hauteurs initiale et finale du cylindre de vapeur pendant la détente, c’est-à-dire les abscisses OA et OB; l'aire dont il s'agit aura pour expression (265) en vertu de b relation [1]

PAlog'. 5.

Si, par exempte, on a P,= 1000* , h,=0*,2 et H=5h,, on trouvera 1 000*. 0“, 2.log* 5= 200*“. 1 ,6094379 , ou enfin 321*“, 887. . . ou environ 322 kilogrammètres.