Axe» sommet i ordonnées. On a VU au 11° 173 que

l’équation de la parabole peut toujours être ramenée à la forme y* = 2 px, les axes étant rectangulaires. La quantité 2 p est ce qu’on nomme le paramètre de la parabole.

A chaque valeur de x correspondent pour y deux valeurs égales et de signe contraire; l’axe des x est donc un axe de symétrie; on l’appelle Pare de la parabole.

Pour a; = 0 on a y = 0; ainsi la courbe passe par l’origine. Ce point, où la parabole coupe son axe, est ce qu'on appelle le sommet de la courbe.

On peut toujours supposer p positif; car si p était négatif, on ramènerait ce cas au premier en comptant les x positifs en sens contraire.

Dès lors on ne peut attribuer à x aucune valeur négative ; la courbe ne s’étend donc que du cété des x positifs. Lorsqu’on fait croître x de 0 à oo , y croit également de 0 jusqu’à oo . La courbe a la forme indiquée par la figure 12, page 15.

Pour calculer les coordonnées des différents points de la courbe, on peut attribuer des valeurs à y ; on en déduira les valeurs correspondantes de x sans avoir aucune racine à extraire. On peut aussi appliquer, soit au calcul des coordonnées, soit au tracé de la courbe, la méthode exposée au n» 20 et qui est fondée sur l’emploi des différences secondes.

On peut encore calculer les coordonnées des différents points de la courbe, sans avoir de racine à extraire, en faisant usage d’une variable auxiliaire. Les formules

et x

peuvent être employées à cet usage. Elles donnent y* =2pz, quel

que soit t ; et en y faisant varier t depuis l'infini jusqu’à zéro, x et y varieront depuis zéro jusqu’à l’infini.

Enfin, on peut construire la courbe par points d’après l’équation if = '2px elle-même. Pour cela, soit AP (fig. 111) l’abscisse d’un point que l’on veut construire : on portera de A en B une longueur égale à 2p; sur BP comme diamètre on décrira une demi-circonférence qui rencontrera l'axe des y en un point 0 ; la longueur AQ sera l’ordonnée du point cherché : car on aura A0* = AB. AP = 2px; donc AQ = y, Menant donc PM et QM parallèles aux axes, leur point d’intersection M sera le point cherché.

La même construction donne un second point, symétrique du point M.

21’. 4. Théorème. Les carrés des ordonnées perpendiculaires à l'axe sont entre eux comme les abscisses correspondantes.

Cela résulte de la forme même de l’équation de la courbe. Si (x, y) et (a:’, y') sont deux points de la parabole, on aura

y ’ = 2 px et y '* =2 px' ;

d’où *. C. Q. F. I).

285. Théorème. La parabole peut être considérée comme la limite vers laquelle tend une ellipse dont le grand axe croît indéfiniment ; tandis que la distance de l'un des foyers au sommet le plus voisin reste constante.

Soit

l’équation d’une ellipse. Sans changer la direction des axes, transportons l’origine au sommet qui a pour abscisse — a ; pour cela, changeons x enx — a; il viendra

dou y'=*âx-

La distance du foyer au sommet le plus voisin est a — c ; désignons par lïp cette distance supposée constante; nous aurons

ïP — a — c, d’où c = a — £p et c’ = a' — ap -)- J p*.

De là on lire

et par suite

a’ — c' = ap — jp*

ou b*=ap — Jp’,

Si u tend vers l’infini, — tend donc vers p, et -, vers zéro; ainsi, a r a'

h la limite, l’équation [1] de l’ellipse se réduit à

ÿ' — Zpx,

qui est celle d’une parabole.

Remarques. I. On pourrait considérer également la parabole comme la limite d'une hyperbole. ,

H. Lorsqu'on pose

l'équation [1] prend la forme

y* =2 px — qx*.

Les notations étant les mêmes, on verra que l’hyperbole rapportée à son axe transverse et à la tangente menée par le sommet de droite a pour équation

y' — ipx-^-qx*.

Ainsi l’équation

y’ = 2qx -(- qx*

représente à elle seule les trois courbes du second degré, savoir : l’ellipse, si l'on a q<0; l’hyperbole, si l’on a q>0; la parabole, si l’on a q = 0.

<280. Foyer. Directrice. On a vu au u* 15 que la courbe jouis- GÉOM. ANAL. 17

sant de cette propriété, que chacun de ses points est également distant d’une droite fixe et d’un point fixe, est une parabole. Toute parabole jouit de la même propriété.

Soit M (fig. 112) un point quelconque de la parabole. Prenons sur l’axe OX, de part et d’autre du sommet O, les longueurs OF et OA égales à c’est-à-dire au quart du paramètre. Par le point A menons la droite DD' perpendiculaire à l’axe. Du point M abaissons sur DD' la perpendiculaire MO, et joignons MF. Je dis qu’on aura MF = MQ,

En effet, on a d’abord MQ = AP = AO + OP = £p + x.

On a ensuite

MF* = MP‘ +W = y' + (x — ip)\

= 2px -f (x — ip' = (*+ ip)* ; d’où MP = x-|-£p,

et par conséquent MF = MQ.

Ainsi, chaque point de la parabole est également distant de la droite DD’ et du point F.

Le point F se nomme le foyer de la parabole, et la droite DD est sa directrice; la propriété que l’on vient de démontrer s’énonce alors en disant que chaque point de la parabole est également distant de la directrice et du foyer.

Remarques. 1. Pour x= {p on trouve y=±p. Ainsi, la corde menée par le foyer perpendiculairement à l’axe est égale au paramètre 2 p.

II. Pour *=2 p on trouve y=±2p. Il en résulte que si, par le sommet, on mène une droite faisant avec l’axe un angle de45° (et dont l’équation serait par conséquent y = x), elle rencontrera la parabole en un point dont l’abscisse sera égale au paramètre.

Celte remarque fournit un moyen de construire le foyer et la directrice, lorsqu’on a la courbe et son axe, sans avoir son équation.

III. L’ellipse, l’hyperbole et la parabole jouissent toutes trois de cette propriété que les distances de chaque point de la courbe à la directrice et au foyer sont dans un rapport constant (UJ4, 233). Dans l’ellipse, chaque pointes! plus près du foyer que de la directrice correspondante; dans l'hyperbole, chaque point est plus près de la directrice, que du foyer; dans la parabole les deux distances sont égales.

IV. La distance d’un point de la courbe au foyer est une fonction rationnelle entière et du premier degré de l’aètcwse de ce point. Si l’on choisissait d’autres axes, on obtiendrait encore une fonction rationnelle, entière et du premier degré, des coordonnées nouvelles de ce même point.

287. La parabole peut se construire par points d’après la propriété du foyer et de la directrice.

Soit OP (fig. 113) l’abscisse d'un point que l’on veut construire. Par le point P on élèvera sur l’axe une perpendiculaire indéfinie. Du foyer F comme centre avec un rayon égal à la distance AP du point P à la directrice, on décrira un arc de cercle, qui coupera la perpendiculaire en un point M ; ce point M sera le point cherché. Car en menant MQ parallèle à OX, on aura MQ= AP = MF.

Remarques. I. Un point M’ (fig. 11 3) situé au dehors de la parabole est plus près de la direclrice que du foyer; car si l’on abaisse MP perpendiculaire à l’axe, et qui rencontre la courbe en un point M; qu’on mène M'O1 et MQ perpendiculaires à la directrice, et qu’on joigne M'F et MF; on auraM'Q'=MQ; mais M'F > MF, comme oblique, s’écartant davantage du pied de la perpendiculaire FP; or, MQ=MF; donc on a M'F>MQ ou

On verrait de même qu’un point M" situé dans l’intérieur de la parabole est plus près du foyer que de la directrice.

Donc, si un point est à égale distance de la directrice et du foyer, il est situé sur la parabole, ce qui achève de justifier la construction ci-dessus.

II. On obtient à la fois deux points de la courbe, symétriquement placés par rapport à l’axe. Car le cercle décrit du point F coupe en deux points la perpendiculaire élevée en P.