TANGENTE ET NORMALE

280. Tangente. D’après ce qui a été établi au n° 101, le coefficient angulaire de la tangente au point qui a pour coordonnées x' et y' est

Considérons la branche de courbe siluée au-dessus de l'axe. Quand y' varie de 0 à l’infini positif, m varie de l’infini positif ét zéro, et reste par conséquent positif. Cette branche supérieure de la courbe tourne donc sa concavité vers l’axe (100); et, à cause de la symétrie, il en est de môme de la branche inférieure.

Au sommet, on a t/'=0,d’où m = oo ; en ce point la tangente est donc perpendiculaire à l’axe.

200. D’après ce qui précède, l’équation de la tangente à la parabole, au point qui a pour coordonnées x' et y', est

équation à laquelle il faut joindre la relation y'*=2px' qui exprime que le point est sur la courbe.

A l’aide de celte relation, on inet l’équation [1] sous la forme

yy'=p(x+x') [2]

ou yy —px—px' — ^,

ou, en divisant le premier terme par ^ et les deux autres par px',

La seule inspection de l'équation de la tangénte sous cette forme montre que pour æ = 0 on a y = %y’, c'est-à-dire que Tordonnèe à r origine de la tangente MT (fig. 114) est la moitié de V ordonnée MP du point de contact M.

On voit de même que pour y=0 on a x= — x', c’est-à-dire que la tangente rencontre l'axe en un point T situé du côté des irnégalifsàunedislanceOTégale Fis- “*• à l’abscisse OP du point de contact.

La distance TP se nomme la sous-tangente. Ainsi, dans la parabole, la sous-tangente est double de l'abscisse du point de contact; car on a TP =2 OP.

Cette propriété fournit un moyen commode de mener la tangente en un point donné M de la courbe; car il suffit de mener l’ordonnée MP, de prendre OT = OP, et de joindre TM.

Remarque. Pour x' =\p, on a y' =p; par suite m= 1 ; ainsi la tangente au point dont l’ordonnée passe par le foyer fait un angle de 45" avec l’axe. Cette même tangente rencontre l’axe au même point que la directrice, puisque l’abscisse du point de rencontre est — 4p.

200. Problème. I. Mener une tangente à la parabole par un point extérieur (x*, y").

On aura pour déterminer les coordonnées x’ et y' du point de contact ]’équalion qui exprime que le point donné est sur la tangente, c’est-à-dire, en adoptant la forme [1] ci-dessus.

et l’équation qui exprime qne le point de contact est sur la courbe, savoir

y'*=2 pxf [5].

L’élimination conduit à une équation du second degré; ainsi il y a en général deux solutions; elles se réduisent à une seule quand le point donné est sur la courbe.

Mais, au lieu de traiter la question par le calcul, on peut remarquer que si, dans les équations [4] et [5], on regarde x' et y' comme des variables, elles représenteront deux lieux géométriques dont l’intersection donnera les points de contact de la tangente. L’équation [4] représente une droite facile à construire et qu’on appelle la corde des contacts. L’équation [5] représente la parabole elle-même.

II. Mener une tangente à la parabole parallèlement à une droite dont l’équation est y=mx.

On aura pour déterminer les coordonnées x' et y' du point de contact l’équation qui exprime le parallélisme, savoir :

et l’équation [5] ci-dessus qui exprime que le point de contact est sur la courbe.

L’équation [6] ne donne qu’une valeur de y', qui, substituée dans [5], ne donne qu’une valeur de x' ; ainsi le problème n’admet qu’une solution.

On obtient v'= — et Ces valeurs, mises dans l’équa-

lion [1] de la tangente donnent

y— p-~m(x— ou y=mx-\-~- . [7]

9 m \ 2my 9 1 2m

Remarque. Pourm = oo on trouve, en divisant préalablement par m, que l’équation [7] sc réduit à a: =0, c’est-à-dire à l’axe de s y, ce qui devait être. Pour m=0 on obtient y= » ; ainsi ce n’est

qu’à une distance infinie que la tangente devient parallèle à l’axe de la courbe.

291. Normale. L’équation de la normale à la parabole, au point dont les coordonnées sont x' et y', est

Pour avoir le point N (fîg. 114) où elle rencontre l’axe, faisons y = 0 ; nous trouverons x = p-\-x'.

La distance PN, qu’on appelle la sous-normale, est égale à ON — OP ou à x — x', c’est-à-dire à p. Ainsi, dans la parabole, la sous-normale est constante et égale à la moitié du paramètre.

Cette propriété fournit un nouveau moyen de mener la tangente en un point M donné sur la courbe; il suffira de mener l’ordonnée MP, de prendre PN égal au demi-paramètre p, et de joindre MN qui sera la normale; la perpendiculaire MT à la normale sera la tangente.

Remarque. Pour x' = 0, la distance x ou ON se réduit à p; ainsi, à mesure que le point M se rapproche du sommet, le point N se rapproche du point situé à la distance p de ce même sommet.

292. Théorème. La tangente à la parabole fait des angles égaux avec l'axe et avec le rayon vecteur du point de contact.

Il faut démontrer que le triangle MTF (fig. 1 14) est isocèle, et qu’on a TF=MF.

Or, on sait (288) que si x est l’abscisse OP du point M, on a TO=a; en valeur absolue; donc TF=TO+OF=x-f-|p. D’ailleurs on a trouvé (288) MF=a;-f-|p. Donc TF = MF. Donc l’angle MTF=TMF; ce qu’il fallait démontrer.

Remarques. I. Si l’on mène par le point M une droite HH' parallèleà l’axe, onaural’angle HMT = MTF; donc aussi HMT=TMF; c’est-à-dire que la tangente est la bissectrice de l’angle HMF formé par la droite MH parallèle à l’axe, et par le rayon vecteur MF.

II. Il en résulte que la normale MN est la bissectrice de l’angle supplémentaire H'MF.

III. Le triangle MFN étant isocèle, puisque l’angle FMN = H'MN =M.NF, on a NF= MF. D’ailleurs TF = MF; donc TF = FN. Ainsi la tangente, la normale et l’axe déterminent un triangle rectangle dont l'hypoténuse a pour milieu le foyer F.

293. théorème démontré au numéro précédent fournit un nouveau moyen de mener une tangente è la parabole.

I. Soit proposé d’abord de mener la tangente par un point M donné sur la courbe (flg. 115). Ayant mené la directrice AL, on abaissera du point M une perpendiculaire MD sur cette droite; on joindra FD, et du point M on abaissera sur FD la perpendiculaire MT, qui sera la langculc demandée ; car elle sera la bissectrice de l’angle DMF. ,

Remarque. Le point I, où la tangente MT rencontre la droite FD, est F,g' le milieu de cette droite; mais ce mi-

lieu est situé sur l’axe OY, puisque l’on a OA = OF, et que OY est parallèle à AL. Il suit de là que la tangente au sommet de la parabole est le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur les tangentes.

II. Soit proposé, en second lieu, de mener la tangente par un point K extérieur à la parabole. Du point K comme centre, avec la distance KF pour rayon, on décrira un arc de cercle qui rencontrera la directrice en un point D; car le point K, étant extérieur à la courbe, est plus près de la directrice que du foyer (28iS) ; on joindra DF, et du point K on abaissera sur DF une perpendiculaire KT, qui sera la tangente dentandée. Le point M, où elle rencontrera la parallèle à l’axe menée parle point D, sera le point de contact.

En effet, par construction, KT sera perpendiculaire sur le milieu de DF, puisque KD = KF; le point M sera donc également distant de D et de F, et MT sera la bissectrice de l’angle DMF; ce sera donc la tangente.

L’iirc décrit du point K comme centre rencontrant la directrice en deux points, il y aura deux solutions.

III. Soit proposé enfin de mener la tangente parallèlement à une direction donnée. Du foyer F on abaissera sur cette direction une perpendiculaire qui rencontrera la directrice en un point D. Sur le milieu de FD on lui élèvera une perpendiculaire TK, qui sera la tangente demandée. Le point M, où elle rencontrera DM parallèle à l’axe, sera le point de contact.

En effet, TK étant perpendiculaire sur le milieu de FD, on a MF= MD; donc le point M est sur la parabole. De plus TK est la bissectrice de l’angle DMF; donc TK est la tangente.

Le problème serait impossible si la direction donnée était parallèle à l'axe, parce qu’alors la perpendiculaire menée à cette direction par le foyer serait parallèle à la directrice.

$ 3. DIAMÈTRES

294. Théorème. Les diamètres de la parabole sont des droites parallèles à l’axe (165).

Soit, en effet, y = mz;4-n l’équation de l’une des cordes que le diamètre considéré divise en deux parties égales, et soient Ç et »j les coordonnées de son milieu; ce point étant sur la corde, on a

Pour avoir les coordonnées des extrémités de la corde, il faut combiner son équation avec celle de la parabole, ou y* = 2 px. En éliminant y on obtient

équation qui a pour racines les abscisses des extrémités de la corde. Leur demi-somme, qui est égale à l’abscisse l du milieu, a pour valeur

En éliminantn entre les équations [1] et [2]; on a l’équation du lieu,

qui représente une parallèle à l’axe de la parabole.

Remarque. Réciproquement, toute parallèle à l'axe de la parabole est un diamètre. Car soit y— y' l’équation de cette droite.

Considérons le système de cordes parallèles dont le coefficient angulaire satisfait à la relation

y =— d ou , m=-..

Le lieu du milieu de ces cordes a pour équation

ou, en mettant pour m sa valeur,

291Î. Théorème. Les cordes quun diamètre divise en deux parties égales sont parallèles à la tangente menée à Vexlrîmili de et diamètre.

On vient de voir, en effet, que si y — y' est l’équation d’une parallèle à l’axe, ou, ce qui revient au môme, d’un diamètre, le coefficient angulaire des cordes qu’il divise en deux parties égales est

Or, ce coefficient angulaire est aussi celui de la tangente menée au point dont l’ordonnée est y' (287), lequel n’est autre que l’extrémité du diamètre. Donc les cordes considérées sont parallèles à la tangente, ce qu’il s’agissait de démontrer.

298. Théorème. Lorsque l’on prend pour axe des x un diamètre quelconque, et pour axe des y la tangente à l’extrémité de ce dia-

mètre, l’équation- de, la parabole conserve la même forme que lorsqu’elle est rapportée à son axe et à la tangente du sommet.

En effet, les cordes parallèles à l’axe des y étant alors divisées en deux parties égales par l’axe des x, il en résulte qu’à chaque valeur de a: correspondent deux valeurs de y égales et désigné contraire. L’équation ne peut donc contenir que des puissances paires de y; ainsi le terme en xy et le terme en y doivent manquer dans cette équation. La courbe passant par l’origine, l’équation doit aussi manquer du terme indépendant dd a? et de y. Enfin la relation B* — 4AC = 0 devant être satisfaite, puisque c’est une parabole, comme Best nul, il faut que A ou C le soi nt. Or, si A était nul, l’équation ne contiendrait plus y et ne pourrait représenter que deux parallèles à l’axe des y. Il faut donc que ce soit C qui disparaisse; et alors l’équation est de la forme

Ay’-f- Eæ= 0 on y* = — ^ x ,

ou, en posant —^=2 p', y*=2 p'x,

équation semblable à celle de la parabole rapportée à son axe et à

Remarque. Il est facile d’obtenir la valeur de p en fonction de p, connaissant l’abscisse a de la nouvelle origine par rapport aux anciens axes.

Soit MX (fig. 116) le diamèlre pris pour axe des x, et soit TY la tangente prise pour axe des y.

Soient OP=o et MP =6 les coordonnées de la nouvelle origine M par rapport aux anciens axes OX, et OY,. Par le sommet O menons OIN parallèle à TM ; la figure OIMT est un parallélogramme, et l’on a

* ou MI = OT = OP=a(288), puis y • ou NP = ÏÜ,= ^ = MP,+ÏP, = &’+4'1’>

ou y* = 2 pa + ka*.

la tangente au sommet.

Fig. U*.

Meltant ces valeurs dans l'équation y'=z2p'x, on obtient

2pa-f-4a*=2p'a d’où ^=?4-0 2 2 ‘

Cette valeur est remarquable, parce que c’est précisément la distance du point M au foyer (2U3). Ainsi, toutes les fois que «quation de la parabole est ramenée ii la forme y*=2p'x, le quart du paramètre 2p' est la distance de l'origine ou foyer; ce qui a également lieu quand la parabole est rapportée à son axe et à la tangente au sommet.

297. Il résulte de ce qui vient d’ètre dit, que les propriétés qui ne dépendent que de la forme de l’équation de la parabole, subsistent quand elle est rapportée à un diamètre quelconque et à la tangente à l’extrémité de ce diamètre.

Ainsi, 1° les carrés des ordonnées obliques sont entre eux comme les abscisses correspondantes; 2° si y' est l’ordonnée oblique d urupoini de la courbe, le coefficient angulaire de la

tangente en ce point est et l’équation de la tangente est

3° La sous-tangente est encore double de l’abscisse, etc.

S 4. AIRE d'dr segment parabolique.

298. Nous nous proposons d’évaluer l’aire .comprise entre un arc OB de la parabole (fig. 117), le diamètre OX passant par l’une de ses extrémités, et l’ordonnée AB menée par l’autre extrémité parallèlement à la tangente OY au point O.

Supposons la parabole rapportée aux axes OX cl OY ; son équation sera de la forme

Imaginons qu’on ait inscrit dans l’arc OB un contour polygonal, et que par chacun de ses sommets, tels que M, M\ etc., on ait mené des parallèles aux axes : MP, MO, M'P', M'Q’, etc. Soient

x, y, et x’, y' les coordonnées des deux sommets consécutifs M cl M' de ce polygone. En nommant 0 l’angle des axes, on trouvera pour les aires T et l des trapèzes MPP’M' et MQQ’AT,

T=i (y + t/) (x— x’) sin a

el t = 4 (x+x’) ( y — i/)sin 6,

ng. m. 1 x+* y-y

Si l’on suppose que le nombre des côtés du contour polygonal augmente, et que les sommets consécutifs se rapprochent indéfiment, on aura

lim - = Iun . x lun ,•

Or, d’abord.

En second lieu, si dans l’équation [1] on regarde x comme la fonction et y comme la variable, la quantité

lim

n’est aufre chose que la limite du rapport entre l’accroissement de la fonction et l’accroissement de la variable, c'est-à-dire que c’est la dérivée de x par rapport à y, on a donc

lim - — —, = dérivée de = -} y- y 2 p p

270 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX. DIMENSIONS, par conséquent :

limT=M=j£=!H=2.

t X P px px

Ce que l’on vient de dire des trapèzes MPP'M’ et MQQ'M1, on peut le dire de tous les autres couples de trapèzes. Ainsi, à la limite, la somme des trapèzes intérieurs est le double de la somme des trapèzes extérieurs.

Or, à la limite aussi, la somme des trapèzes intérieurs devient le triangle mixtiligne OAli ; et la somme des trapèzes extérieurs devient le triangle mixtiligne OCB. On a donc

OAB = 20CB, d’où OAlî = “ (OA B + OCB) = § OA PC,

c’est-à-dire que l’aire parabolique OAB qu’il s’agissait d’évaluer, est les deux tiers de celle du parallélogramme OACB.

Remarques. I. Si X et Y sont les coordonnées du point B, l’aire du parallélogramme OABC a pour expression XYsinO. L’aire parabolique OAB équivaut donc à $ XY sin 0.

II. Si le diamètre OX était l’axe de la parabole, la tangente OY lui serait perpendiculaire ; on aurait donc sin 0 = 1 , et l’aire para- ’bolique aurait simplement pour valeur?} XY.

. III. On démontrerait de la même manière que l’aire parabolique OAB' est les deux tiers du parallélogramme OAB’C'. Par conséquent l’aire du segment parabolique BOB' est les deux tiers du parallélogramme BCCB' formé par la corde BB', la tangente CG' qui lui est parallèle, cl les droites BC et B’G' parallèles *au diamètre OX, ou à l’axe.

299. Théorème. Si des extrémités d'une corde de la parabole on abaisse des

perpendiculaires sur la tangente au lomiitfl, leur moyenne proportionnelle est la distance du sommet au point de rencontre de la corde et de l'aie.

Supposons la parabole rapportée à son aie et à sa tangente au sommet; soient (i', xJ) et (i" , y") les extrémités de la corde.

L'équation de cette corde sera

u'—xï'

y— y'=|rrp(*-®0-

Pour avoir la distance du sommet au point où la corde rencontre l’aie, il faut, dans cette équation, faire y — 0 , ce qui donne

mais ûd a

y’=2pi' et yn= 2px",

d’où

y*1 — y”3 — 2p (x’—sT)

et par suite

x’-x" xf+xT Vf— y" 2p

Mettant cette valeur dans [1] on obtient

. y’Iy’+y'’) ipz1 — y1 — ify" y'y"-

Par conséquent

vnyn i/i. .v

èp* 2 p 2p

ni;

Or , zf et *" sont les perpendiculaires abaissées des extrémités de la corde sur la tangente an sommet; l’équation [3] démontre donc le théorème.

Remarque. L’équation [2] montre (ce qu’il est d'ailleurs facile de voir directement) que lorsque les deux extrémités de la corde sont d’un même côté de l’aie, elle le rencontre hors de la parabole; tandis que si ces deux extrémités sont de part et d'autre de l’axe, la corde le rencontre dans l'intérieur de la courbe.

500. Théorème. Si par les différents points d'une droite LU (fig. 118) on mène d la parabole des couples de tangentes, telles que NU, NM', les cordes de contact, telles que MM' passent toutes par un point fixe.

Prenons pour axes la tangente YY' parallèle à LL1, et le diamètre AX mené par le point de contact. Soient X* et y" les coordonnées du point N ; l’équation de la corde des contacts MM' sera (289)

vy"=p'(*+**) [1]

en appelant 2p' le paramètre de 1a parabole rapportée aux axes que nous aveus

choisis, et pour lesquels son équation

Fig. tu.

conserve la même forme que lorsqu'elle est rapportée à son axe et à la tangente au sommet (295).

L’abscisse AP du point où MM' rencontre AX, s’obtiendra eu faisant y = 0 dans l’équation [ 1 J , ce qui donne

Or, l’abscisse ar" du point N ne dépend pas de la position de ce point sur la droite LL', puisque celle-ci est parallèle à l’axe des y. x" est donc une constante. Par conséquent AP est aussi constant ; et le point P est un point Use par lequel passent toutes les cordes de contact analogues & MM'. C’est ce qu’il fallait démontrer.

On voit de plus que le point fixe est situé sur le diamètre qui passe par le point de contact d’une tangente parallèle à la droite donnée.

Remarques. I. Le point P se nomme le pôle de la droite LL'; et cette droite se nomme la polaire du point P.