DE LA PARABOLE
Mais , si m est le coefficient angulaire de la corde CD , on a
HT
multipliant ces relations terme ù terme , on obtient
y'1— y'” 2pi'— 2px"
mTi 2 (z" — z") 2 (J^ — x")
Si t)' est de même l’ordonnée du point 1' , et m' le coefficient angulaire de C'D', on aura pareillement
et , par conséquent, en multipliant [2] et [3] membre à membre ,
mm'v \'=zp> [4],
Or, les deux cordes étant perpendiculaires entre elles , les coefficients angulaires m et m' sont liés par la relation mm' + 1 =0 ou m m'= — 1.
En mettant pour mm' cette valeur dans [4] , il vient
Cette relation montre que les ordonnées r, et r,' sont toujours de signe contraire; si donc on a ij = + IP, onauraij'= — l'P'. Par suite
IP.l'P' = p-’,
ce qu’il s’agissait de démontrer.
362- Problème. Étant donné un arc de parabole, conetruire la courte.
Soit CD (fig. 119) l’arc donné. On mènera deux cordes parallèles; on joindra leurs milieux, et l’on aura un premier diamètre HH' (293).
Soit M le point où il rencontre l’arc donné; on mènera MT'paralléle aux deux cordes; ce sera une tangente (29é) ; puis on fera l’aDgle TM F = TMH'; on aura une droite MF qui ira passer par le foyer (291).
En répétant la construction pour deux autres cordes parallèles entre elles, mais non aux deux premières, on obtiendra une nouvelle droite passant au foyer, et qui, par son intersection avec la première, donnera le foyer F.
On mènera FX parallèle aux deux diamètres; ce sera Taxe de la paraboie (293). Il rencontrera la tangente MT en un point T. Du point M on abaissera sur Taxe la perpendiculaire MP. Le milieu A de la distance TP sera le sommet de la parabole (287). On aura ainsi tous les éléments nécessaires pour tracer la courbe (286).
GÉOM. ANAL. 18
303. Problème. Par un point P prit sur l'axe d'une parabole, on mène de t parallèles aux tangentes; on demande le lieu des points M où chacune d'elles rencontre le rayon vecteur du point de contact correspondant.
Prenons pour origine le foyer; il suffira, dans l'équation de la parabole, et dans celle de sa tangente, de changer x en x + jp, ce qui ne changera pas le coefficient angulaire de la tangente, où l'abscisse du point de contact n’entre pas. Soient donc if et y’ les coordonnées du point de contact; et soit FP = a. L'équation d'une parallèle à la tangente passant par le point P sera
L’équation du rayon vecteur sera d’ailleurs
et, pour ciprimer que le point de contact est sur la parabole, on aura
y”=îp(*+sp) [3],
En éliminant x! et y’ entre ces trois équations, on aura une relation entre x, y et des constantes; ce sera l’équation du lieu.
De l'équation [I] on tire y'=Ej£Zl2i;
l’équation [2] donne alors Xi—Px(t~a)
Ces valeurs mises dans l’équation [3] donnent, toutes réductions faites,
équation du cercle décrit du foyer F comme centre, avec FP pour rayon.
Remarques. I. On aurait pu prévoir ce résultat qui est une conséquence de la propriété exposée au n" 291; car les triangles TFT et PFM (fig. 114) sont semblables ; et puisque le premier est isocèle , il en est de même du second ; on a donc F1I=FP, quantité constante.
II. Si, au lieu de mener par le point P des parallèles aux tangentes, on menait des parallèles aux normales, et qu’on cherchât de même le lieu de leur rencontre avec le rayon vecteur, on obtiendrait le même cercle que ci-dessus. C’est encore une conséquence de la propriété démontrée au n* 291 .
III. Il est remarquable que le cercle obtenu est indépendant du paramètre de la parabole, et que, par conséquent, le lieu demandé resterait le même, quel que fût ce paramètre, pourvu que les paraboles eussent même axe et même foyer.
301. Problème. Par le foyer d'une parabole on mène des droites faisant avec
les tangentes un angle constant; on demande le lieu du point de rencontre de chaque droite avec la tangente correspondante.
Prenons pour origine le foyer, l'aie de la parabole pour aie des x, et l’aie des y perpendiculaire. Pour obtenir l’équation d'une tangente quelconque , il
suffira dans l’équation ordinaire (288) de changer ieni + |, ce qui donnera
y=m{x+l)+û tu-
L'équation d’une droite menée par le foyer sera
et si ces deux droites font entre elles un angle donné, dont nous désignerons la tangente par K, on aura
ni — m' 1 + mm’
Si, entre ces trois équations, on élimine m et m’, il restera une relation entre x, y et des constantes, qui sera l’équation du lieu; car on peut regarder x et y comme les coordonnées du point commun aux deux droites. Pour faire le calcul, on éliminera m’ entre [2] et [3] ; on obtiendra une valeur de m qu’on substituera dans [1]. Faisant disparaître les dénominateurs, réduisant et transposant, on pourra mettre l’équation finale sous la forme
(x* + y-) [2K (y- Ki) - p (1+ K>)] = 0.
Cette équation est satisfaite quand on égale i zéro l’un ou l’autre des deux facteurs du premier membre; elle se partage donc en deux, savoir :
i«+y»=0 et 2K (y — Ex) — p (1 + X1) =0.
La première donne x = 0 et y = 0, et représente l’origine des coordonnées, ou le foyer; c’est évidemment une solution étrangère à la question.
La seconde peut s’écrire
y=K(i + ÎP) + ^ [4].
En la comparant avec l’équation [IJ on voit que c’est celle d’une tangente î la parabole , faisant avec l’axe un angle égal à l’angle constant dont la tangente est K.
Remarque. Si l’angle constant est droit, on a K = oo ; l’équation [4], divisée préalablement par K , donne alors
a+ip = 0 ou * = — ip,
c'est l’équation de la tangente au sommet. On retrouve ainsi la propriété démon- , trée plus haut (291, Rem.).
30S. Problème. Trouver le lieu décrit par le sommet d’un angle constant dont les cités restent tangents à une parabole donnée.
276 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. Les cités de l'angle étant des tangentes, auront pour équations
u = mx -f -t- et * 2m
et si K désigne la tangente de l’angle constant on devra avoir
1 + mm'
[fl-
En éliminant m et m' entre ces trois équations, on aura l’équation du lieu; car on peut regarder x et y comme les coordonnées du sommet de l’angle mobile. La première équation peut être mise sous la forme
2xm: — 2j/m+p=0
et la seconde , traitée de la même manière , donnerait une équation qui ne différerait de celle-ci qu'en ce que m serait remplacé par m’. On peut donc regarder m et m' comme les deux racines de l’équation [3]. On trouvera, en conséquence,
, vV— 2 pi . p
m — m = et
valeurs qui substituées dans [2] donnent l'équation cherchée y/ y7— 2px K
y- — KV— j>(2 + K’)x— K’£=0
Mi
c’est celle d’une hyperbole , dont l’axe transverse est dirigé suivant l'axe de la parabole; car l'équation ne contient y qu'à la seconde puissance, et quand on fait y = 0 on trouve pour x deux valeurs réelles. L’abscisse du centre est
Quand on transporte l'origine en ce point, l’équation de l'hyperbole se réduit à
