I VJ
ÿ*-K=*>-fp>(i±5-’) = C
Sous cetle forme on reconnaît que l'hyperbole a pour asymptotes les droites dont les équations, par rapport à la nouvelle origine, sont
y = ±.Kx.
En désignant par a et b les demi-axes, on trouvera ensuite
p/T+T’ , pv'l+K’ „ . i-x-T-n <+KJ 0='-^ , b = - JT , dou e^O’+b’rrp.-
Si de cette valeur on retranche la valeur absolue de la distance du centre de l'hyperbole à l'ancienne origine, ou trouve :
(1+K!) 2-fK> p
n * - — ri : — r
La distance du sommet de la parabole au foyer de droite de l'hyperbole est donc c'est-à-dire que le foyer de la parabole est un des foyers de l’hyperbole.
Enfin on ; retranchant cette valeur de la quantité p T11! ex-
prime en valeur absolue la distance du centre de l’hyperbole au sommet de la parabole, on obtient pour reste 5. La directrice de la parabole est donc aussi une des directrices de l’hyperbole.
Remarques. I. Si l'angle constant est droit, on a K as oo ; et l'équation [4] préalablement divisée par K’ donne alors
i3+pz + t= 0 ou + =0> d’°“ x=~\'
c’est l’équation de la directrice. Ainsi la directrice de la parabole est le lieu du sommet d'un angle droit dont les cités restent tangents à la courbe.
II. Si l'angle constant vaut la moitié d’un angle droit, on a K = 1 , et l'on reconnaît par l’inspection de l'équation [5J que l'hyperbole devient équilatère.
306. Problème. D'un point fi re on mène des normales d une série de paraboles ayant même axe et même sommet ; on demande le lieu des points où chaque normale rencontre normalement la courbe correspondante.
Les paraboles considérées rapportées à leur axe et à la tangente au sommet auront pour équation :
yJ=2p*,
p étant un coefficient variable de l'une à l’autre, et qui peut être positif ou négatif.
Soient sf et \/ les coordonnées du point où chaque normale rencontre normalement la parabole correspondante; et soient x' et y' les coordonnées du point fixe par lequel les normales sont menées , on aura (290)
avec y’3=2j>x' [2J.
En éliminant p entre ces deux équations, on aura une relation entre y, y' et des oonstantes, qui sera l'équation du lieu. On obtient
y"— y’=— —■ *0 ou y" + 2aé3— y"y’-2*"i'=0.
C’est l’équation d’une ellipse, dont les axes sont parallèles aux axes coordonnés ; elle passe par le point fixe et par le sommet commun des paraboles ; son centre est au milieu de la droite qui joint ces deux points.
367. Problème. Tmuvtr le lieu des potnts par chacun desquels cm peut mener à une parabole deux normales perpendiculaires entre elles.
Soient x1 , y' et x" , y" les coordonnées des points où les deux normales rencontrent normalement la courbe; les équations de ces normales seront (290)
[1] y-ÿ'=-^(i— a') et y—y"=—t(x — x") [2],
équations auxquelles il faut joindre les relations
[3] yn=1px’ et ÿ—ïpxT [4].
Les deux normales devant être perpendiculaires, on doit avoir en outre
y-=-l ou v'y"=— p= 15].
On peut regarder a et y comme les coordonnées du point commun aux deux normales; ainsi, en éliminants', y', a" et y" entre les cinq équations ci-dessus, on obtiendrait une relation constante entre a, y et des quantités connues; ce serait l'équation du lieu. Mais on obtient plus rapidement cette équation en opérant de la manière suivante :
Remplaçons dans fl] y' par sa valeur tirée de f3]; il viendra, en chassant les
dénominateurs et transposant,
En éliminant de même a" entre les relations [2] et [4], on arriverait à une équation semblable, et qui n’en différerait qu’en ce que y' serait remplacé par y". On peut donc regarder y1 et y" comme deux racines de l’équation
Désignons par y” la troisième racine; on aura, d’après une propriété connue des équations,
Remplaçant y'y" par sa valeur — p1, il reste
— y”— 2y, d’où" y"=— 2y.
Cette valeur de la troisième racine devant satisfaire à l’équation [6] , on trouve , en substituant — 2y à la place de Y,
ou , en divisant par 2y , ce qui est permis , car y = 0 , ou Taxe des x , est évidemment une solution étrangère, et changeant les signes,
4y5 + 2p(p— x)+p’=0 ou ky'+3pi‘— 2psr=0,
ou enfin — -|p).
Telle est l'équation du lieu. C'est celle d’une parabole dont le paramètre est le quart de celui de la parabole donnée, et dont le sommet est situé, du côté des x positifs , à une distance égale à * p de celui de la parabole donnée.
Remarques. I. L’équation [5] montre que les ordonnées y" et y" sont nécessairement de signe contraire. On en déduit aussi = p* . ou 4 p’.xV' = p1
ou *V=Ç*
II. L’équation [6] manquant de second terme, on a V'+ÿ" + y"=0;
et comme 2y ,
il en résulte y=i(y'+ \/') >
c'est-à-dire que l’ordonnée du point d’où partent les normales est une moyenne entre les ordonnées des points où ces normales rencontrent normalement la courbe.
308. Problème. Étant donné un quadrilatère ABCD (flg. 120', on prend sur
ses côtes quatre points P, 0, R, S, qui divisent le» côtes proportionnellement , . BP BQ AS CR enWrt*9“0,,a,,BÂ=BC=ÂD=CD; on joint PR et QS; on demande le lieu du point de rcncoplre S des lignes de jonction.
c . , BP BQ
So,ent bâ=bct
