AB- BC~ AD ~ CD

d’où n-f-n'=l

Prenons pour ares les diagonales AC et BD du quadrilatère, et soient OA=a, OC = a', OB = b,OD = 6'; on trouvera, pour les coordonnées

du point P,

i=na, y=n’b-,

du point Q,

x— — na',' y— ntb;

du point R,

st= — n'a’, y= — ni»'

du point S,

x—— n'a, yss—nb.

Par suite, l’équation de PR sera

ÿ— r+na . .

n'b + nb' na + n'a' 1 ’

et l’équation de OS sera

n'b + nV na' + n'a *•

On peut regarder x et y comme représentant les coordonnées du point M ; on obtiendra donc l’équation du lieu en éliminant n et n' entre les équations fl],

[SJ el [3].

Pour cela, on égale d’abord les seconds membres de [2] et [3]; réduisant, divisant par a + a', et ayant égard à [1], il reste

En second lieu, les équations [2] et [3] pouvant s’écrire

n’a!/ — n^a'b -f- n[ay — Vx) n’(a'y — bx) = 0

et n’a 7/ — n*ab + n(a'y + Vx) + n'(ay -(- bx) =0 ,

en ajoutant membre à membre, réduisant, divisant par a + a’, et ayant égard à [1], il vient

n’b' — n'5b-f-y=0 [SJ.

De [1] et [4] on conclut que n et n' sont donnés par l’équation du second degré :

Tirant de celle équation les valeurs de n et de n' pour les substituer dans la relation [5] , on obtient

ou bien y=-tzïx + Hb-V)±}(b + Vh/i *!.

Telle est l’équation du lieu. C’est une courbe du second degré qui s’étend indéfiniment dans le sens des x négatifs, mais qui est limitée dans le sens des x positifs-, c’est donc une parabole.

Remasqces. I. La courbe passe aux points B et D; car pour* = 0, on trouve y = 6 et y = — b*. On pouvait prévoir ce résultat.