II. La droite représentée par l'équation

est un diamètre; c'est la droite HK qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère.

III. La courbe rencontre son diamètre au point qui a pour abscisse x = j (a — a'). Cette abscisse est celle du milieu 1 de OH.

D'après la propriété de la sous-tangente, démontrée au n“ 288, laquelle subsiste par rapport à un diamètre quelconque et à la tangente à l’extrémité de ce diamètre ;296), les droites HD et HD sont des tangentes.

IV. Si b t= V, le diamètre HK se confond avec la diagonale AC.

Si, de plus, les diagonales sont perpendiculaires, AC devient l'axe.

Si l’on a a = fl', la courbe se réduit à la diagonale BD.

Le lecteur pourra s'exercer sur les questions suivantes :

I. Théorème. Si l’on joint le foyer de la parabole au point où une tangente quelconque rencontre la directrice , la ligne de jonction est perpendiculaire au rayon recteur du point de contact.

II. Théorème. Si l’on joint deux points M et H' d’une parabole à l’extrémité A d'un diamètre quelconque; que ion mène par les points M et M' des parallèles d ce diamètre; la diagonale NN' du trapèse MN'M'N ainsi déterminé sera parallèle à la tangente au point A.

III. Théorème. Si par le sommet A d’une parabole on mène une corde quelconque AM, et par le point M une perpendiculaire MB à cette corde, terminée à l'axe de la courbe, la distance PB entre le point B et le pied de l’ordonnée du point. M sera égale au demi-paramètre.

IV. Problème. Étant donné un trapèse ABCD, on fait carier la direction du cité CD, de manière que la surface du trapèse reste constante; on demande le lieu du point de rencontre M des diagonales.

V. Problème. On mène par un point fixe des tangentes d une série de paraboles ayant même axe et m-’me sommet ; on demande le lieu des points de contact.

VI. Problème. Trouver le lieu des points tels que la somme (ou la différence) des distances de chacun d'eux à une droite fixe et d un point fixe est constante.

VII. Pboblême. Trouver le lieu des points tels que si, de chacun d’eux , on mène deux tangentes d une parabole donnée, la somme des angles qu’elles font avec l’axe est constante.

VIII. Problème. D'un point fixe P on mène d une parabole donnée une sécante quelconque PAB, sur laquelle on prend une longueur PM, moyenne géométrique entre PA et PB; on demande le lieu du point M.

IX. Problème. Trouver le lieu des milieux des sécantes menées d une parabole par un point fixe.

X. Problème. Trouver le lieu des centres des cercks tangents à «ne droite donnée et coupant à angle droit un cercle donné.

309. Application*. I. Un projectile, lancé dans le vide, y décrirait une parabole à aie vertical. Si r est la vitesse initiale du projectile, et a l’angle que sa direction fait avec l'horizon , l'équation de la courbe décrite, rapportée & deux axes , l’un horizontal et l'autre vertical, pris dans le plan du mouvement et passant par le point de départ, est*

ou, en posant e*=2gh,

,=*t»ng«-tt|— W*

La courbe rencontre l’aie horizontal & une distance de l'origine égale & x=4hcos,atanga=2hsin2x.

Cette distance est ce que Ton nomme Vamplitude du jet; elle est la plus grande possible pour a =45*.

L'abscisse du sommet est la moitié de cette amplitude, ou x=h sin 2».

On en dédnit, pour l’ordonnée correspondante,

y=zh sin’*.

Si Ton veut l'ordonnée du foyer, il faut de cette -dernière retrancher le quart du paramètre. Or, si Ton rapportait la courbe à son aie et & son sommet, le coefficient de xJ ne changerait pas, et Ton aurait :

V= pr — ou x’=ili cos’a.y.

4hcossa

Le quart du paramètre est donc h cos’ a. Par suite, l'ordonnée du foyer est hsin’a — Jicos’a ou — h cos 2a.

Remarques. I. Le lieu du sommet de toutes les paraboles que le projectile peut décrire avec une même vitesse initiale r, mais en faisant varier l’angle a du tir, s'obtiendra en éliminant a entre les équations

x=hsin2* et y=hsin’a.

Or, la seconde peut s'écrire

2y=h — h cos 2a ou h— 2y=fccos2*.

* Voir les Notions de Mécanique exigées po.ir l’admission à l’École polytechnique.

Élevant au carré cette dernière équation, ainsi que la première, et ajoutant membre à membre , on obtient

*’+ (A — 2y)’ = A5 ou i1 + Ay1— 4/»ÿ = 0, équation d'une ellipse dont le centre est sur l’ave des y à la distance - de l’origine; son petit aie, dirigé suivant l’axe des y, a pour valeur A, et son grand aie, qui est horizontal, a pour valeur 2A.

II. I.e lieu des foyers des mêmes paraboles s’obtient en éliminant * entre les équations

z=Asin2a et y=— Acos2», ce qui donne !rJ+y»=A,,

équation d'un cercle décrit de l'origine comme centre avec le rayon A.

alO II. Les comètes décrivent des ellipses * très-allongées qui peuvent être assimilées à des paraboles (285), daus la portion de l’orbite risible pour nous. La parabole étant une courbe plus simple que l’ellipse, il en résulte plus de commodité pour les calculs. L'approiimation obtenue de la sorte est presque toujours suffisante.

511. III. Les chaînes ou les cftbles qui supportent les tiges d'un pont suspendu affectent la forme d une parabole à axe vertical, lors même que les liges ne sont pas équidistantes. Étant donnés les deux points d'attache, qui peuvent être situés à des hauteurs différentes, et la tangente au sommet, laquelle est horizontale et se trouve déterminée par la hauteur du tablier du pont, on a les éléments nécessaires pour tracer la courbe.

On peut faire usage, pour cela, du théorème du n" 244. Soient A et B (fig. 121)

les deux poiuls d’attache du cible, et XX la tangente au sommet. On abaissera des points A et B sur X’X les perpendiculaires AC et BD; on cherchera leur moyenne géométrique, que l’on portera sur DB, de D enl ;j>ar le point I on mènera une horizontale, qui rencon- Fig. 121. trera en H la droite AB; du point H on

abaissera sur X’X la perpendiculaire HS ; le point S ainsi obtenu sera le sommet. La droite SH sera l’axe. On aura le paramètre par la relation CS* = 2p. AC; par suite le foyer, et la directrice. On pourra donc tracer la courbe par le procédé indiqué au n° 286.

312. IV. On donne aui balanciers des machines à vapeur la forme parabolique,

afin que, conformément à la théorie de la résistance des matériaux, le balancier présente dans chaque section la même résistance.

Connaissant la demi- longueur OA (fig. 122) et la demi-hauteur du ba- Fig- lancier, on a à construire la para-

bole, connaissant son axe OA, son sommet A,' et un point B. On obtient le

•Peut-être que quelques-unes décrivent des hyperboles; le fait n’a pu être encore bien constate.

paramètre par la relation 55* = 2p. OA; par suite le foyer, la directrice. On peut donc tracer la parabole, comme il est dit au n* Î86.

313. V. La perspective d’un cercle peut être une parabole. Ce cas se présente notamment lorsque le cercle, étant situé dans le plan horizontal du terrain, coupe la ligne de terre, et que la parallèle menée à cette ligne par le pied du spectateur est tangente à la circonférence.

Soient A et B (fig. 123) les points où cette circonférence rencontre la ligne de terre, et soit I le milieu de AB. Le diamètre qui passe en I prend, en perspective, la direction IV (le point V étant le point de vue). La perspective C de l’extrémité de ce diamètre s’obtient par les procédés ordinaires. La tangente en ce point reste parallèle à la ligne de terre, et par conséquent à la corde AB que CI divise en deux parties égales. La ligne CI est donc un diamètre de la parabole, et l’on a à

construire la courbe, connaissant un diamètre , son extrémité , et un point (A ou B). Le paramètre relatif à ce diamètre s'obtiendrait par la relation AI! = 2p'. CI; et on pourrait calculer ou construire les coordonnées correspondantes à autant d'abcisses qu’on le voudrait. Mais le plus souvent il suffira de déterminer les tangentes en A et B, et de tracer ensuite la Fi8- ,3ï- courbe avec les trois points A, B, C et

les trois tangentes en ces points. Or, la tanzente en A s'obtiendra en se rappelant que la sous-tangente est double de l'abscisse, même lorsque la parabole est rapportée à un diamètre quelconque et à la tangente à l'extrémité de ce diamètre. On prendra donc CK = CI, et l'on joindra KA, qui sera la tangente en A; par une raison semblable, KB sera la tangente en B.

SH. VI. Beaucoup de fonctions peuvent être représentées par l'ordonnée d’une parabole. Nous nous contenterons d’en donner un exemple.

D'après les expériences de M. Defont line sur un bras du Rhin, la vitesse des filets liquides décroît, depuis la surface jusqu’au fond, comme les ordonnées d’une parabole dont l'équation serait, en prenant pour abscisses les profondeurs comptées à partir de la surface, et pour ordonnées les vitesses comptées dans leur sens horizontal,

Cette courbe a Informe indiquée sur la figure 125.

g V. THÉORIE GÉNÉRALE nES POVERS.

313, Nous avons donné trois définitions différentes des foyers suivant que nous avons considéré ces points dans l’ellipse, dans l’hyperbole ou dans la parabole. Il n’cst peut-être pas inutile d’in-

diquer ici un point de vue général, qui permet de ramener à une méthode uniforme la recherche de leurs propriétés.

En effet, nous avons vu (n°* 183, 232 et 283, Rem.) qu’un foyer jouissait, dans les trois courbes, de cette propriété, que sa distance à un point quelconque de la courbe est une fofiction rationnelle des coordonnées de ce point. On peut donc prendre cette propriété commune pour définition des foyers, et alors voici la marche qu'il faudra suivre pour trouver ces points :

Soient (a, fs) un foyer F, (x, y) un point quelconque M de la courbe ; la distance F.M s’exprimera d’abord par

et ensuite, comme elle doit être une fonction rationnelle de x et de y, elle pourra s’exprimer encore par

ex + ry + 9,

e, f, g étant, comme « et p, des inconnues qu’il s’agit de déterfniner. On aura donc

y/{x—x)'+{y-$)'=tx+fy-\-g, ou {x— a)*+(v— P)*— {ex+fy+g)*=0 [I].

Or, comme cette relation [l] doit avoir lieu quel que soit le point M, ce n’est autre chose que l’équation

Ai/’-}-Bxi/+Cx'-)-D!/ -f- Ex-f F=0

de la courbe, ou cette équation multipliée par un facteur indéterminé X. On devra donc avoir identiquement

(x-a)«+(y-p)‘-(cx+ry+ff),=^[Ay,+B^+Cx'-l-Dÿ+Ex+F].

En identifiant les coefficients des termes analogues dans les deux membres, on aura autant d’équations qu’il en faut pour déterminer les inconnues «, p, e, f, g, X.

Nous n’effectuerons pas ce calcul qui ne nous conduirait qu’à

des résultats connus, et nous nous contenterons de le conseiller aux élèves comme exercice.

Remarques. I. Le calcul effectué sur l’équation générale [2] serait fort compliqué. Mais comme il est clair qu’un point qui jouit de la propriété caractéristique des foyers dans un certain système d’axes, ne cesse pas d’en jouir encore quand on change de système, il est permis de prendre, au lieu de l’équation [2], l'équation la plus simple de chaque courbe, que l’on traitera séparément.

II. Toutes les courbes du second degré peuvent être représentées par l’équation

(x — *)'+(y—py—(ex+fy+g)'=0 [3],

' qu’on nomme quelquefois \' équation focale. Comme le symbole B* — 4 AC est ici

kc'p — 4(1 — e’) (1 — D = 4 (e*— p— 1), on voit que la courbe sera une ellipse si l’on a c’+r< 1 »

une hyperbole c*-J- /■*> i ,

une parabole e,-j-/’*=l.

Cette équation est très-commode pour la résolution de tous les problèmes dans lesquels entrent en jeu les propriétés des foyers et des directrices.

III. L’équation focale montre que l’existence d’un foyer entraîne celle d'une directrice.

En effet, si on nomme S la distance d’un foyer (a, p) à un point (ar, y) de la courbe, on a

S^a-aj’-Hy-p)*;

si on nomme 8* la distance du point ( x , y) à la droite qui a pour équation

ex+fy+g=0,

,, ex-\-fy + g

on a ô = — X

Donc, en vertu de l’équation focale, on a

c’est-à-dire que la droite ex-t-/ty-f-;7 = 0 est une directrice.

On voit que si on parvient à mettre l’équation du second degré sous la forme [3], on aura immédiatement un foyer et la directrice correspondante.