CHAPITRE X

DES COORDONXËES POLAIRES.

§ 1. DÉFINITION DES COORDONNÉES POLAIRES. — TRANSFORMATION DES COORDONNÉES RECTILIGNES EN COORDONNÉES POLAIRES, ET RÉCIPROQUEMENT.

310. Considérations sur la manière de fixer la position d’un point sur un piau. Nous n’avons fait usage jusqu’ici, pour fixer la position d’un point dans un plan, que de scs coordonnées rectilignes, c’esl-à-dire de ses distances à deux axes fixes tracés dans le plan, distances estimées perpendiculairement quand les axes sont rectangulaires , ou parallèlement à ces axes quand ils sont obliques.

On conçoit qu’il puisse exister beaucoup d’autres manières de fixer la position d’un point dans un plan. Cette position serait connue, par exemple, si l’on donnait les distances de ce point a deux points fixes pris dans le plan , pourvu que l'on sût de quel côté il se trouve par rapport à la droite qui joint les points lixes; car il se trouverait à l’intersection de deux circonférences de cercle décrites des deux points fixes comme centres avec des rayons respectivement égaux aux deux distances données.

La position d'un point serait également connue si l’on donnait les angles que les droites menées de ce point à deux points fixes pris dans le plan font avec la droite qui joint les points fixes; car il se trouverait à l’intersection de deux droites faisant avec la ligne des points fixes des angles respectivement égaux aux angles donnés.

On pourrait encore déterminer la position d’un point dans un plan par ses distances à un point fixe et à une droite fixe ; car il se trouverait à l’intersection d'une droite et d’un cercle; et ainsi de suite.

Les diverses manières de fixer la position d’un point dans un plan formeraient autant de systèmes de coordonnées, dont chacun pourrait avoir son avantage dans certaines questions spéciales. Ainsi, dans le premier système considéré, en nommant p et ?' les

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distances d'un point quelconque aux deux points fixes, les équations très-simples

p-f-p' = const. ou p — p' = const.

représenteraient, la première une ellipse, et la seconde une hyperbole, ayant les points fixes pour foyers. Dans le second système, en nommant u etw' les angles que les droites menées d’un point quelconque aux deux points fixes font avec celle qui joint ces points , l’équation

« -f w' = const.

représenterait une circonférence de cercle passant par les points fixes. Dans le troisième système, en nommant p et x les distances d’un point quelconque au point fixe et à la droite fixe, et en désignant par wiune constante, l’équation

p =mx

représenterait une ellipse, une hyperbole et une parabole, suivant qu’on aurait m< 1 , m> 1 ou m = l (181, 231, 283).

Mais les avantages que peuvent présenter ces divers systèmes de coordonnées ne sont point assez généraux pour les faire préférer, soit aux coordonnées rectilignes dont nous nous sommes servis jusqu’à présent, soit à celles que nous allons étudier.

Remarque. Dans les systèmes de coordonnées que nous venons de signaler, comme dans le système des coordonnées rectilignes, chaque point du plan est donné par l’intersection de deux lieux géométriques, déterminés respectivement par chacune des coordonnées, et l’on verra qu’il en est de môme pour les coordonnées polaires- Néanmoins il serait inexact de définir, comme on le fait quelquefois, un système de coordonnées, en disant que c’est un système de lieux géométriques dont l’intersection détermine la position d’un point. On peut se servir, en effet, de systèmes de coordonnées qui échapperaient à cette définition. Ainsi, dans l’étude des courbes, on a employé avec succès pour coordonnées l’arc de la courbe rqôme, compté à partir d’un point fixe pris sur cette courbe, et l’inclinaison de la normale à l’autre extrémité de GÉOM.ANAL. 19

cct arc*. Ob pourrait employer pour coordonnées l'aire de la courbe et l’inclinaison de sa tangente, etc. Il vaut donc mieux se borner à dire qu’un système de coordonnées est un système de grandeurs variables propres à déterminer la position tfun point.

SlGftis. Coordonnées polaires. Soit M(fig. 126) tin point dont On

veut déterminer la position dans un plan. Menons dans ce plan une droite fixe OX, et prenons sur cette droite un point fixe O, puis joignons OM. La position du point M sera entièrement connue si l’on donne l’angle MOX et la longueur OM; car pour l’obtenir il suffira de faire au point O un angle XOM égal à l’angle donné, et de prendre sur la direction ainsi déterminée, et à partir du point O, «ne distance OM égale à la longueur donnée.

L’angle MOX et te longueur OM forment les coordonnées polaires du point M ; le point O se nomme le pèle, la droite OX Y axe polaire; la longueur OM est le rayon vecteur du point M ; l’angle MOX n’a pas reçu de nom particulier; pour la commodité du langage, nous l’appellerons l 'angle polaire du point M.

On désigne assez habituellement le rayon vecteur par la lettre p, et l’angle polaire par la lettre m. On adopte pour le sens positif de cet angle celui qui est indiqué par la flèche, c'est-à-dire le sens du mouvement d'une droite qui, d’abord couchée sur OX, tournerait autour du point O en s’élevant de» OX vers OM. On peut faire varier w depuis Q jusqu’à une valeur quelconque, pouvant comprendre un nombre illimité de circonférences, soit dans le sens positif, soit dans le sens négatif. Quant au rayon vecteur p , on le regarde ordinairement comme une longueur absolue, c’està-dire essentiellement positive. Dans certains cas cependant , il

* Mémoires sur 1rs direloppécs des courbes planes, par MM. Dubois-Aymé et Ifcg ou; 1SK>.

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serait avantageux d’admettre des rayons vecteurs négatifs; OM et OM' seraient, par exemple, deux rayons vecteurs égaux et de signe contraire, répondant à une même valeur de l’angle polaire <0.