Équation d’une courbe en coordonnées polaires. Toute

équation de la forme f(ç>, w)=0 ou p =?(&>) représente en coordonnées polaires une courbe que l’on construira de la manière suivante.

On donnera à w des valeurs croissantes, à partir de zéro, et suffisamment rapprochées; et l’on déduira de l’équation proposée les valeurs correspondantes de p. On construira, comme il a été dit au n° 510, les différents points qui ont pour coordonnées polaires les valeurs correspondantes de t» et de p ainsi obtenues. Si l’on a fait varier u» par intervalles suffisamment petits, les points construits de la sorte seront assez rapprochés; et en les réunissant par un trait continu , on aura la courbe demandée, avec le degré d’approximation que comporte le dessin.

Remarque. Lorsque la variable w n’entre dans l’équation que par ses lignes trigonométriques, l’unité à laquelle on la rapporte est indifférente; mais lorsqu’elle y entre d’une autre manière, on prend pour unité d’arc celui dont la longueur est égale au rayon, ou, ce qui revient au même, on prend pour unité d’angle l’angle au centre qui correspond à cet arc. La variable «> n’exprime plus alors qu’un rapport; et elle ne figure dans les formules que comme un nombre abstrait. Un angle polaire de 90° est alors

représenté par ^ ; un angle de 180° par ir; et ainsi de suite.

là

318. D’après la définition même des coordonnées polaires, l’équation

dans laquelle a est un angle donné, représente une droite passant par le pôle et faisant avec l’axe polaire l’angle «. Si l’on n’admet que des rayons vecteurs positifs, une moitié seulement de la droite est représentée par cette équation; l’autre serait représentée par l’équation w=. a-f 180®. Si l’on admet des rayons

293 CË0MÉTR1E ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

vecteurs négatifs, une même équation représentera la droite tout entière.

Les équations w= 0 et 180° représentent l’axe polaire.

L’équation p = r,

dans laquelle r est une longueur donnée, représente une circonférence de cercle décrite du pôle comme centre, avec la longueur r pour rayon.

L’équation p = 0 représente le pôle.

510. Changement d’axe polaire. On a souvent besoin de changer d’axe polaire sans changer de pôle. Soit OX' (fig. 126} le nouvel axe polaire faisant avec l’ancien un angle X’OX = a; et soit w' le nouvel angle polaire du point M. On aura

MOX = MOX' + X'OX ou w = <o' + «.

Telle est la relation qui servira à opérer le changement d’axe polaire.

On reconnaîtrait aisément que celte formule est générale.

320. Passer d'un système de coordonnées rectangulaire» à un système de coordonnées polaires, et réciproquement.

Soient OX et-OY (tig. 126) les axes rectangulaires; MP et OP les coordonnées d’un point M rapportées à ces axes. Si l’on prend d’abord pour âne polaire l’axé des x, on aura OM = p et MOX = w. Or, les coordonnées rectangulaires du point M étant les projections de OM sur les axes, on aura, quelle que soit la position du point M,

x = p cos u> et y = psin (d [1],

Si l’on «prend pour axe polaire une droile quelconque OX' passant par l’origine et faisant avec OX un angle a, il faudra, dans ces formules, remplacer w par w' + «; ce qui donnera

x = p cos (<•>' -(- a) et y = p sin (o>' -f- a) [2].

321. Pour passer, au contraire, d’un système de coordonnées polaires à un système de coordonnées rectangulaires ayant le pôle

DES COORDONNÉES POLAIRES

pour origine, il faudra des formules ci-dessus tirer les valeurs de . P et de tu, ou de <»', en fonction de x et de y.

On tire des équations [1], en les ajoutant membre à membre après les avoir élevées au carré,

a*+y> = ?', d’où p = v'F+ÿ [3].

On obtient ensuite