Supposons au contraire qu'on ail l’équation polaire

p a cos » + bain w

On en tire apcosu-f t>psinb>=c,

ou , en employant les relations [1] ,

az + by=c,

équation d’une droite. L’équation [12] représente donc une droite.

DES COORDONNÉES POLAIRES

Soit encore l'équation polaire

p=acosu-f bsinu [131.

En la multipliant par p , sauf à tenir compte du facteur introduit, on trouve p'=opcosu4- bpsiou, ou, en se servant des relations [1] et [3],

*J + Sr,=«r+5ÿ,

équation d’une circonférence de cercle passant par l'origine. L'équation [13] représente donc un cercle qui passe par le pôle.

Remarqdr. L’introduction du facteur p se trouve ainsi justifiée; car si l’on tient compte de l'équation p = 0, correspondante à ce facteur, on sait qu'elle représente le pôle (318), ce qui ne change rien au lieu représenté par l'équation [18].

SM. Soit enfin, codant dernier exemple, l'équation polaire

a cos m

p 1 — sin2u

[HJ.

on en tire, en chassant le dénominateur et multipliant par p, p’— 2psin*>.pcos»=:û.poo9».

Au moyen des formules [1] et [3] on la change en

x‘+y,—2xy~a*i

qui est celle d'une parabole. L'équation [14] représente donc une parabole. Remarque. On peut répéter ici la remarque faite au numéro précédait.

$ 2. AXES DE SYMÉTRIE, ASYMPTOTES BT TANGENTES DES COORBES EN COOR DONNÉES POLAIRES.

527. Axes de symétrie. Lorsque l'axe polaire est un axe de symétrie de la courbe, à chaque point M (fig. 126) situé au-dessus de cet axe correspond un point M" situé au-dessous, à la même distance, et sur une même perpendiculaire. Pour ces deux points, les longueurs OM et OM" sont égales , ainsi que les angles MOX et M"OX. Mais le premier de ces deux angles étant regardé comme positif, le second doit être regardé comme négatif. Il s’ensuit que si l’équation polaire de la courbe est satisfaite par un système de valeurs p et w, elle Je sera également par le système p et — <*>. Il

faut pour cela que l’équation reste la même quand on y change w en — u.

C'est ce qui arrive, par exemple, lorsque l’angle polaire n'entre dans l'équation que par son cosinus, par sa sécante ou par des lignes trigonométriques affectées d’un exposant pair. Ainsi des équations telles que

f(p, cosw) = 0, f{p, sin*u>) = 0, f(?, lang*o>) = 0,

représentent des courbes symétriques par rapport à l’axe polaire.

528. Si la courbe a un axe de symétrie passant par le pôle et faisant avec l'axe polaire un angle o, il faudra qu'en rapportant la courbe à son axe de symétrie, c’est-à-dire en faisant tourner l’axe polaire d’un angle a, l’équation à laquelle on parviendra reste la même quand on y changera le signe du nouvel angle polaire. Or, pour effectuer le changement d’axe polaire dont il s’agit, il faut remplacer w par w'-f-a; et la nouvelle équation polaire devra rester la môme quand on y changera w' en — <■>'. Ceci revient à dire que l’équation primitive doit donner le môme résultat quand on y remplacera o> par o±<u'. Les termes susceptibles de changer de signe avec *»' doivent donc disparaître, quel que soit w' ; et cette condition , si elle est remplie, fera connaître la valeur de o.

Soit proposer, par exemple , l’équation

p = a -f- b sin 3 w.

En y remplaçant u par aiw', elle devient :

p = a + 6 sin 3 a. cos 3u’± beos 3 a. sin 3 u'.

Pour que le terme en sin 3to' disparaisse quel que soit io ', il faut qu’on ait

cos3* = 0,

d’où, en ne prenant que les valeurs positives,

3o=90* + n.l80 et «=30‘ + n.60*> n étant un nombre entier, ce qui donne les valeurs :

o=30>, o=90*, o=150*, o = 50* + 180*, etc..

DES COORDONNÉES POLAIRES

qui ne fournissent que trois directions distinctes. On retrouverait encore les

mêmes directions en prenant, pour a des valeurs négatives. U courbe a donc trois aies de symétrie, faisant avec l’axe polaire des angles de 30, 90 et 150 degrés.

Celle circonstance abrégerait d’une manière notable la construction de la courbe ; car les trois aies de symétrie faisant entre eux des angles égaux, il en résulte que la courbe se compose de six parties superposables (fig. 127).

Et, en général , s’il y a n axes de symétrie passant par le pôle et faisant Fig. 127. des angles successifs égaux entre eux,

la courbe se composera de parties superposables en nombre 2 n.

Remarque. Si l’on admettait des rayons vecteurs négatifs, une équation polaire représenterait encore une courbe symétrique par rapport à l’axe polaire lorsqu’elle demeurerait la même en y changeant à la fois u en 180°— « et p en — P. La méthode cidessus exposée devrait alors être modifiée en conséquence; c’està-dire que pour obtenir les axes de symétrie passant par le pôle, il faudrait remplacer successivement « par a-f-io' et par a-f- 180° — io', puis exprimer que les résultats obtenus sont égaux et de signe contraire, quel que soit u',

529. Asymptotes en coordonnées polaires. Lorsqu’à Une valeur finie de w, par exemple t» = a, répond une valeur infinie

de p, il y a lieu de chercher si la droite passant par le pôle et faisant avec l’axe polaire l’angle a, n’est pas une asymptote de la courbe, ou si cette dernière n’a pas une asymptote rectiligne parallèle à cette droite.

Soit OA (fig. 128) la droite qui fait Fi«- ,s»- avec l’axe polaire l’angle a ; et soit M

un point quelconque de la courbe. Du point M abaissons sur OA la perpendiculaire MP, et joignons OM, nous aurons POM = POX — MOX — a — « , et en appelant S la distance MP,

5 = OM . sin POM = p sin (a — m).

Imaginons que dans ceüe expression on ait mis pour e la valeur tirée de l’équation de la courbe , et que l’on fasse tendre <o vers la valeur particulière <*. Il pourra se présenter trois cas. Si 8 tend vers zéro, la courbe ira en se rapprochant indéfiniment de OA ; cette droite sera donc une asymptote de la courbe. Si 8 tend vers une valeur finie d, la courbe aura pour asymptote une parallèle à OA, distante de OA d'une longueur égale à d. Si 8 tend vers Tinfini, la courbe n’aura pour asymptote ni OA, ni une parallèle à OA.

La limite de 8 est susceptible d’une expression très-simple. En effet, on a

. . . . sin(« — «)

8 = p sm (a — 1*>) = j — — .

L’inverse ^ étant une fonction de «o, qu’on pourra déduire de

l’équation de la courbe, désignons-la par f (u>) et posons en outre o» = « -J- h; il viendra

g sin h

n«+ày

ou, comme Ha) est nulle par hypothèse,

sin A

sin h h

d’où lim.8 = ±7i^,

formule dans laquelle on prendra le signe + ou le signe —, suivant que f («) sera positive ou négative.

Remarques I. Nous avons omis à dessein le cas où 8 serait indépendant de io. Si cela arrivait, tous les points du lieu représenté par l’équation proposée seraient à la môme distance de OA ; le lieu serait donc une droite parallèle à OA. Mais l’équation polaire d'une droite pouvant toujours être reconnue à sa forme (322), le cas dont il s’agit ne doit point se présenter.

DES COORDONNÉES POLAIRES

II. Dans le cas où S à une limite d, positive ou négative, mais différente de zéro, l’équation de l’asymptote est

psin(a — w) = d,

puisque celte équation représente le lieu des points distants de OA d’une longueur égale à d.

En 'y faisant w = 0, d’où p = -jL. 0n obtient le point où elle

coupe l’axe polaire. L’asymptote se trouve ainsi complètement déterminée.

Si l’on avait « = 0, au lieu de faire w=0 dans l’équation de l’asymptote, on ferait u> = 90°, et l’on aurait ainsi le point où elle coupe la perpendiculaire à l’axe polaire.