On trouve tang V= !jTC0Scu = cotne
Cette relation démontre une propriété connue de la parabole. Car si l’on nomme w' l’angle MFP supplément de », on a cot iw=tang£w'. Par suite V = ju' ouTMF=JMFP (MTétantla tangente au point M). On a vu en effet (291) que la tangente à la parabole fait des angles égaux avec l’axe et avec le rayon vecteur; le triangle MFT étant donc isocèle, on a MFP = 2 FMT.
Pour (o=0, on trouve tang V = », ainsi la tangente au sommet est perpendiculaire au rayon vecteur, c’est-à-dire perpendiculaire à l’axe.
A mesure que w augmente, cot£ « diminue; il en est donc de même de tang V ; et pour w = 1 80°, c’est-à-dire pour un point situé à l’infini sur la courbe, on a cot£w = 0 d’où V = 0, c’est-àdire qu’en ce point la tangente est dirigée suivant le rayon vecteur, lequel se confond lui-mêine avec l’axe.
347. Problème I. Un disque vertical (fig. 139) (il animé d'un mouvement uniforme de rotation autour de son centre O, et dans le sens indiqué par la flèche. Un point matériel tombe librement , limant le diamètre vertical AB de te disque, m y laissant une trace colorie. On demande la courbe formée par cette trace.
La courbe demandée est a même que si le mobile parcourait le diamètre AB d’un mouvement uniformément accéléré, pendant que ce diamètre tournerait lui-méme d’un mouvement uniforme autour du point O et dans un sens opposé 1 celui qu’indique la flèche.
Soit A'B' la position de AB au bout du temps /, et soit M la position que le point mobile occuperait au bout du même temps sur le diamètre AB, s’il était ,,®• resté vertical ; la position que ce point occupera réel-
lement. en ayant égard au mouvement de AB , sera en M' à une distance OM’ du centre égale à OM.
Daignons OM' par p, et l’angle AOA’ par <■>.
Le mouvement du point matériel sur AB étant celui d’un corps qui tombe librement dans le vide, on a (voir les Notions de mécanique)
AM ou r — p = J gC
en appelant r le rayon du disque.
Le mouvement de AB étant uniforme , on a en même temps
a étant l’angle décrit par OA dans l'unité de temps.
Si l’on élimine ( entre ces deux relations, on aura l’équation du lieu
La courbe a la forme indiquée sur la figure. La tangente en A est perpendiculaire au rayon vecteur OA; en O la tangente fait avec OA un angle donné par la relation (331, rem.)
— Vr
Si l'on prolongeait la courbe au delà de la circonférence du disque, on obtiendrait une spirale d'une espèce particulière, qu’il serait facile de construire par points.
348. PaoBLàm II. Deux disques dont les plans sont paralliles et tris-voisins, tournent uniformément autour de leurs centres O et C (fig. 140), dans le sens indiqué par les flèches. On demande la courbe que tracerait, sur le plus grand, un pinceau porté par la circonférence du plus petit, perpendiculairement aux plans des disques. (On suppose , pour plus de simplicité, que la petite circonférence passe par le centre de la plus grande.)
Soit M la position du pinceau au beut du temps t-, soit AT)’ la position qu’a prise au bout du même temps le diarpètre AB d'abord tangent en O à la petite circonférence. Les disques étant animés de mouvements uniformes, on aura
Fig. 14*.
OCM = at et AOA’=p<,
a et p désignant les angles décrits par un rayon de chaque disque dans l'unité de temps.
Appelons p la distance OM, et u l’angle MOA'que fait le rayon vecteur OM, arec le diamètre mobile ATT auquel il faut rapporter la courbe décrite. Enfin soit r le rayon du petit cercle.
La triangle isocèle OCM donne
OM = 2r sin $ OCM ou p=2rsinjixt.
De plus, oa a
u = MOA + AOA' = i OCM+ÀOÀ' = J al +01.
Eliminant t entre ces deux relations, on obtient l’équation du lieu
p = rsin
au
Si, par exemple, les deux disques ont des ▼liesses égales, on aura p=a; et l’équation du lieu deviendra
Fig. itl.
la courbe décrite dans ce
P == î r sin t u .
cas a la forme représentée par la figure 141.
Remarque I. Si ces disques tournaient dans le même sens, il faudrait changer le signe de a ou de p, ce qui donnerait dans les deux cas
p=5rsini=b w*
U. Si le grand disque était immobile , on aurait p = 0, et il resterait
p= 2r sin u,
qui est l’équation polaire de la petite circonférenoe.
24 1, Problème III. Sur une parabole fixe dont l’axe est AX (fig. 142), roule
tans glissement une parabole égale dont l'axe est A'X'. On suppose qu’à l'origine du mouvement les sommets A et A' étaient en contact; on demande le lieu du sommet mobile A'.
Soit U le point de contact des deux paraboles à un instant quelconque; elles auront en ce point une tangente commune MT, laquelle sera perpendiculaire sur le milieu I de la droite AA' qui joint le sommet fixe au sommet mobile ; car cette tangente commune sera l’axe de symétrie du système formé , à l’instant considéré, par les deux paraboles.
Désignons AA' par p , et l’angle A'AT par » , les coordonnées polaires du point I seront f p et u.
Par rapport à l’axe AX et à la perpendiculaire AT , l’équation de la tangente MT est de la forme (Î8t)
y = mx + — ,
316 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, et T équation de la perpendiculaire AA' à cette tangente est alors
On peut, dans ces équations, regarder x et y comme représentant les coordonnées rectangulaires du point I commun aux deux droites. Entre ces coordonnées et les coordonnées polaires du même point on a les relations
x = jp cos(180“ — o>)=— |p cos ta et y = ‘ p sin (180*— «■>) = } p sin u, à l’aide desquelles les équations ci-dessus deviennent
p sin <■> = — m p cos <■> + — , r r m ’
et
p sin u = — p cos < r mr
,, . Costa
d où m = -! — .
sin u
En éliminant m on obtient l’équation du lieu
, cos’w , p sin u
p sin u = — p — p a ou
r sin u cos u
sin’i.) cos u
HJ;
c’est une cissoïde (IS, 324) qui a pour asymptote unejperpendiculaire à l’axe de la parabole fixe, menée ! la distance p de son sommet.
Soient x et y les coordonnées du bile , on aura
330. Problème IV. Trouver le lieu décrit par le centre d'une ellipse qui se meut enrestant tangente d une droite fixe en un même point de cette droite.
Soit TX la tangente fixe (fig. 143) et O le point où a lieu le contact. Du centre C de l’ellipse mobile , abaissons sur OX la perpendiculaire CP , et joignons CO.
Désignons la distance OC par p et l’angle COX par w.
point O par rapport aux axes de l’ellipse mo-
[IJ
et
d’où
l’on tire facilement
Maintenant, l'angle COP ou t» est la somme des angles OCT et OTC, et l’on a
tang OCT =|
et
par conséquent
hh:
,an«0TC = f^
tangM = ^=-;
a5 b* cof w
x1 y2 a2 6* co (* co
et ô> ■ F= — '
d'où xy=-
Remplaçant — et jL- par leurs râleurs on obtient enfin (pJ — b’) (o>— pJ) = o,b’colIw ou p* — (a* + b!) p’ + a’61 cosée’ u = 0
c'est l’équation polaire du lieu.
Ce lieu est symétrique par rapport & l'aie polaire , car l’équation ne change pas quand on y remplace u par — u; il est également symétrique par rapport t une perpendiculaire à l'axe polaire menée par le pâle, car l'équation donne le même résultat quand on remplace w par 90* + <■>’ ou par 90* — uf.
Si l'on fait croître u à partir de zéro , on trouve que p a des râleurs imaginaires jusqu'i ce qu'on ait
(a* + &>)* = 4 a'V coséc1 u ou sin u =
Or, si l'on appelle a l'angle dont la tangente est j, on trouve
et cos a =
✓ÔF+F’
d’où sin 2a =
2 ab a'+b1'
Les valeurs de p restent donc imaginaires tant qu’on a w < 2 a ; et elles le redeviennent dès qu'on a u > 180*— 2 a.
Pour u —2a , les deux valeurs positives de p sont égales, et l’on trouve
Si l’on continue à faire croître te, les râleurs positives de p se séparent jet pour ta— 90*, on obtient p = a et p = b.
On peut s'assurer que pour u = 2 a on a / Fig. tu. tang V = O, et pour te = 90*, tang V = x .
La courbe a donc la forme indiquée sur la figure 144. La partie située au-dessous de l'axe polaire répond au’ cas où l'ellipse serait elle-même placée au-dessous de cet axe.
Kl PsoBtêvs V. Trouver dans un plan le lieu des points tpi i reçoivent de deux foyers lumineux d'égale intensité situés dans ce plan, la même quantité totale de lumière que si les deux foyers étaient réunis au milieu de la droite qui les Joins.
Prénom pour aie polaire la droite FF* (fig.145) , qui joint les deux foyers lumineux , et pour pâle le milieu O de cette droite. Soit M un point du lieu; joignons MF, MO, MF*. Posons OP = •, MO = p , MOF = *>, MF = ( et MF' = Ç*. Désignons enfin par X la quantité de lumière que recevrait de l’un des foyers un point qui en serait éloigné de l’unité de longueur.
La quantité de lumière reçue variant en raison inverse du carré de la distance au foyer lumi- Plg. 14s. neux, les quantités de lumière reçues par le
point M des deux foyers seront ^ et Celle qu'il recevrait des mêmes foyers
s’ils étaient réunis en O sera . On devra avoir par conséquent
