P + 0 = 11 PC

Mais les triangles MOF et MOF1 donnent

Ç»= p’ + a1 — 2apcosw et f* = p» -fa»-4-2 ap cos»; substituant ces valeurs dans la relation précédente, on obtient 2 p» (p> + a») = 2 f(p> + a»)» — 4 a’ p> cos» w] ou en réduisant p» (4 eos» « — 1) = o*,

c’est l’équation polaire du lieu cherché.

On reconnaîtra facilement que ce lieu est une hyperbole dont F et F* sont les foyers , et dont les asymptotes font avec l’axe transverse des angles de 60*.

33Î. Le lecteur pourra s’exercer sur les questions qui suivent.

I. Résoudre le problème du n* 347, en supposant que le plateau soit ont mi d'un mouvement de rotation uniformément varié.

II. Résoudre le problème dun* 348, en. supposant que l’un des deux plateau» ait un mouvement uniformément varié.

III. Trouver le lieu décrit par l’un des foyers d’une hyperbole qui roule sans glissement sur une hyperbole égale. On suppose qu’d l’origine du mouvement les deux sommets correspondants étaient en contact.

IV. Trouver le lieu décrit par le foyer d'une parabole qui se meut en restant tangente à une même droite, en un même point de cette droite.

». Trouver dont un plan le lieu dei pointe qui reçoivent de deux foyers lumineux quelconques situés dans te plan des quantités de lumière proportionnelles à des nombres donnés.

353- Application*. I. Les excentriques dont on fait usage dans les machines

pour produire des mouvements alternatifs plus ou moins compliqués offrent une application intéressante de l’emploi des co ordonnéespolai res.

Supposons, par exemple,

Fig. 14S.

qu’une pièce mobile PP (flg. 146) soit assujettie à se mouvoir de manière que le point A parcoure la droite AB , et qu'il s'agisse de la lui faire parcourir dans un temps T d’après une loi exprimée par l'équation

dans laquelle e désignera la distance du mobile au point A au bout du temps I. On choisira sur le prolongement de BA, et à une distance arbitraire a, un point O. Prenant alors ce point pour pille, et la droite OB pour axe polaire, on construira la courbe qui a pour équation polaire

p=« + f(Tj“) [1|.

Soit AMB cette courbe, depuis w — Ojusqu'à w=ic. Il est clair qu'en plaçant au point O perpendiculairement au plan de la figure , un axe autour duquel on fera tourner uniformément un corps affectant la forme de la courbe AMB, de façon que la demi-révolution s'exécute dans le temps T, la pièce PP sera poussée de A vers B, par le corps tournant suivant la loi demandée.

En effet, le mouvement de rotation étant uniforme, si t est le temps qu’un rayon vecteur emploie à décrire l’angle u, on aura

— ==» d ou — u = l.

it T a

De plus, quand le point M, qui a pour coordonnées u et p sera venu se placer sur AB, le mobile se sera avancé d'une quantité e égaie à OM— OA, ou à p — a,

c’est-à-dire à ou 4 f (0 ; on aura donc e = f(t), ce qu’il s'agissait d’ob-

tenir.

Le retour du mobile de B vers A s’exécute ensuite d’après des conditions dont le détail ne sautait trouver place ici.

Reuahoues. L’excentrique, dit en coeur (fig. 147), est un excentrique de ce genre, dans lequel la courbe polaire est une spirale d Archimède; il est par conséquent destiné à produire un mouvement uniforme. Lorsqu'il doit y avoir des temps d'arrêt dans le Fig- U7. mouvement, on les obtient au moyen de courbes dis-

continues dans lesquelles les mouvements sont produits par des arcs de courbes

analogues aux spirales, et les temps d’arrêt par des arcs de cercle décrits du pôle comme centre. La figure 148 montre un exemple /s. ' ^ d’un pareil excentrique produisant dans une demi-

/ \ — révolution deux mouvements et deux temps d’arrêt.

/ \ / ! 3S4. II. L’emploi des coordonnées polaires se

/ ./ I prête, comme celui des coordonnées rectangulai-

{ / res, à la représentation graphique des fonctions;

* 0 * et l’on doit donner la préférence aux premières

F,K- toutes les fois que la fonction ne renferme que

les lignes trigonomélriques de la variahle.

Ainsi on a vu (323) que les équations

"ucosw + bsinw

et p=acosu-f hsinu

représentent la première une droite et la seconde un cercle, tandis qu'en coordonnées, rectangulaires, les équations

y— —t— : — et y=acosx-f bsinx

’ acosx + lrsmx

Fig. 149.

\ = Jîg.M

représenteraient des courbes beaucoup moins simples.

355. III. Soit O (fig. 149) le point de suspension d'un pendule simple qui, placé d'abord dans la position OA , sans vitesse initiale, est venu, au bout d’un certain temps, prendre la position OM.

Soient AI et MH les perpendiculaires abaissées des points A et M sur la verticale OB. Désignons l’angle AOB par a et MOB par u. On démontre que la vitesse V du point M est exprimée par la relation

V=v'2p(OH — OI)=/2ffo (cosu — cos o)

dans laquelle g représente le nombre 9", 81 et a la longueur OA du pendule.

En prenant pour rayon vecteur V , et pour angle polaire u , on obtient une courbe Omb qui exprime la loi indiquée par cette équation. Si O b représente la vitesse du mobile au point A, Otn est sa vitesse au point M.

336 IV. Soit O (fig. 150) la projection de Taxe horizontal d’une roue qui tourne d'un mouvement périodique , dans le sens de la flècbe , sous l'action de deux forces constantes, l’une F appliquée au bouton M d’une manivelle OH montée sur l’axe O perpendiculairement à sa direction, l’autre P appliquée tangentiellement à une roue de rayon OH montée sur ce même axe. Supposons la manivelle à dou-

ble effet, c’est-à-dire que la force mouvante F, après avoir agi de haut en bas pendant le premier demi-tour, agisse de bas en haut pendant le second, en conservant son intensité. Ce cas se réalise fréquemment dans les machines. Soit V, la

vitesse que possédait le bouton de manivelle en passant au point A , et \ V celle qu’il possède en arrivant en M ; '• désignons l'angle AOM par u et par r une constante qui dépend de diverses circonstances que nous ne pouvons faire connaître ici. On démontre que la vitesse V est donnée par la relation

v = y/ V,1 + e^l — costo — —

Si l’on prend V pour rayon vecteur, et te pour angle polaire, on pourra construire la courbe représentée par cette Fi* ***• équation; elle exprimera la loi suivant

laquelle varie la vitesse V en fonction de l'angle u décrit par la manivelle, à partir île la direction verticale OA. On peut choisir l'unité de longueur de manière que V„ soit représentée par le rayon OA lui-même ; la courbe affecte alors la forme et la position indiquées en AmCm’B. . . sur la figure. La partie ponctuée se rapporte au second demi-tour. Le rayon vecteur minimum et le rayon vecteur maximum répondent aux directions Otn et O m' de la manivelle, qui font avec OA et OB des angles de 39*, 32’, 4.

On peut , par l’emploi d'un volant , diminuer la constante c ; la vitesse V approche alors de plus en plus d’être constante et égale à V,.

Remarque. L'emploi des coordonnées polaires- offre de grandes ressources , dans toutes les questions qui se rapportent aux mouvements de rotation.

GÉOM. ANAL.