COURBES B APPORTÉES A DES COORDONNÉES RECTILIGNES
357. Prérepics généraux. Nous nous proposons de consacrer ce chapitre à l’examen de quelques courbes, choisies de manière à familiariser le lecteur avec les méthodes générales exposées dans les chapitres précédents.
Jusqu’à présent nous n’avons discuté les courbes (à l’exception de celles du second degré) que partiellement et pour montrer l'application de telle ou telle théorie. Ici, au contraire, nous étudierons d’une manière complète les propriétés diverses d’une môme courbe.
On ne peut donner, pour la discussion d’une courbe, que quelques préceptes généraux, nécessairement assez vagues, et que le lecteur devra modifier suivant l’occasion. Voici toutefois comment on procédera le plus ordinairement.
On devra tirer de l'équation de la courbe tout ce qu’elle donne à première vue, sans calcul, comme îa symétrie par rapport à un axe, ou l’existence d’un centre situé à l’origine.
Si l’équation peut être résolue par rapport à l’une des variables, y par exemple , il y aura avantage à effectuer celte résolution. On trouvera pour y plusieurs valeurs : y', y”,... que l’on discutera séparément.
D’autres fois, il vaudra mieux considérer simultanément lés valeurs de y qui correspondent à la même valeur de x.
Dans tous les cas on examinera si la courbe est limitée dans tous les sens, ou si elle a des branches infinies, et combien. Cette dernière détermination devra être suivie de la recherche des asymptotes.
Le coefficient angulaire de la tangente fera connaître le sens de la concavité, les points d’inflexion, les points multiples, etc.
358. Courbe algébrique. Discuter la courbe représentée par l'équation.
DISCUSSION DES COURBES
’ Axe de symétrie. Cette Équation ne renfermant que des puissances paires de y, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des x. Elle passe par l’origine, puisqu’on a y = 0 pour x = 0
Aspect général du lieu. Quand on donne à x des valeurs positives, le terme — (x*-|-5a^) est négatif. L’équation [1], si l’on y considère y* comme l’inconnue, a donc alors ses racines réelles et de signes contraires. La valeur négative de y* étant rejetée, on voit qu’il y a, à droite de l’axe des y, deux branches symétriques par rapport à l’axe des x, et qui s’étendent à l’infini.
Si l’on suppose x<0, x' + Ox3 sera négatif entre x=0 et x = — 5, et x(x — 1) sera positif. On aura donc, dans ces limites, si y* est réel, quatre valeurs de y pour chaque valeur de x. Or, en résolvant l’équation [1] par rapport à y* on trouve
• y*=*(x— l)±xv/2(x+l)(x-fi} [1].
Les deux valeurs de y* sont réelles et positives pour x compris entre 0 et — égales pour x = — j ; imaginaires pour x compris entre — £ et — 1 ; de nouveau égales pour x= — 1; puis réelles et positives entre 1 et— 5.
Par conséquent, deux arcs de courbe parlant du poinlO(fig. 151) viennent se joindre en B, point quia pour coordonnées x= — j, et forment une figure ayant la forme d’une feuille. Même figure audessous de l’axe des x.
11 n'y a aucun point de la courbe entre la droite qui a pour équation x= — j
et celle qui a pour équation x= — 1.
La courbe recommence au point D, qui a pour coordonné! s x = — 1, y = fî. De ce point partent deux arcs, dont l’un s'é'èvc
32k CËOMÉTlllE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.
au-dessus de l’axe des x, el l'aulrc vient rencontrer cet axe ait point E, qui a pour abscisse x= — 5.
Lorsque x prend des valeurs comprises entre — 5 et — <», les deux valeurs de y* sont réelles et de signes contraires. La valeur de y qui s’annule pour x= — 5, devient ensuite imaginaire. L’autre valeur de y qui, pour x = — 5, est égale h \/60, augmente. Donc, la branche DE se termine en E, où elle se raccorde avec la branche sj métrique D E. La branche DF, au contraire, traverse la perpendiculaire élevée à l’axe des x par le point E et s’étend infiniment à gauche.
L'aspect général du lieu ressortant d'une manière claire de celle première discussion, examinons d’un peu plus près sa forme.
Tangente. Le coefficient angulaire de la tangente est
~~ 4yLy*— x(x— 1)] ‘
11 devient infini pour y = 0 et x = — 5; pourx = — J, y = ^3; pour x= — 1, y = v/2. Donc la tangente aux points 11, 1) et E est perpendiculaire à l’axe des x.
Point multiple. Au point O, K prend la forme JJ. Celte indétermination apparente s’évanouit en substituant à y sa valeur tirée de l’équation [1] : mais il vaut mieux chercher directement la limite de - pour x = 0. Or, l’équation [2], divisée par x’, donne
OC
Si l’on prend le radical avec le signe -j-, et qu’on attribue à x des valeurs négatives tendant vers 0, ce qui revient à considérer un point situé sur l'arc BHO, on trouve
lim— , = + », d’où lim-=oo.
Donc les arcs BO et Il'O sont tangents à l’axe des y au point 0.
DISCUSSION DES COURBES
Si, prenant le radical avec le signe -K on fait varier x de — s à 0; ou en le prenant avec le signe — , de -f- * à 0, on trouve |/*
oe — oo pour limite de Mais on peut écrire
d’où, en réduisant,
~ x— 1 =F y/2(ar+l)(a:+|)*
En prenant le radical avec le signe — , ce qui revient à considérer lin point situé sur l’arc LOB', on trouve
,im!?=i’ d’où lim!=±\/r
Donc la branche LOB' coupe l’axe des x sous un angle dont la tangente est y/|.
Asymptotes. Pour avoir les asymptotes de la courbe, appliquons la méthode générale. Appelons c le coefficient angulaire de l'asymptote, et d son ordonnée -à l’origine. La quantité c est donnée par l'équation
d’où c1— 1 ± y'2.
Rejetant le signe — , qui donne une valeur imaginaire pour c, nous aurons
On obtient ensuite d= — — - — — .
En faisant le calcul on trouve deux asymptotes inclinées d’environ 67° 30' et 112° 30' sur l’axe des x, et rencontrant toutes les deux
cet axe à une distance de l’origine égale à — 0,012.... Elles ne sont pas représentées sur la figure.
Construction par points. La complication de l’équation s’opposant à la recherche directe des maximum et minimum, points d'inflexion, etc., nous allons chercher à déduire ces diverses particularités, d’une discussion purement numérique. On trouve d’abord
pour x= 1, y = 1,6,
Les valeurs de y forment à très-peu près une progression arithmétique, d'où je conclus que la branche OL diffère très-peu d’une droite. Ces ordonnées étant moindres que celles de la tangente menée en O, on voit que cette branche tourne sa concavité vers l’axe des x. On trouve ensuite
pour x
On déduit de ce tableau que l’arc OB diffère très-peu d'une droite. Les ordonnées de l’arc OHB vont d’abord en croissant assez rapidement; elles atteignent leur maximum entre x = — 0,4 et x = — 0,5.
Si on fait varier x de — 1 à — 5, on a
DISCUSSION DES COURBES. 3S7
Dans cette partie du plan, l’ordonnée y, de la branche DF va constamment en croissant, et ses accroisseinemenls sont à peu près proportionnels à ceux de l’abscisse. Get arc diffère donc très-peu d’une droite, excepté dans le voisinage du point D.
L’ordonnée y* de l’arc DE décroît d’abord très-rapidement à partir de x\ •— 1,1. Elle atteint son minimum entre x= — 1,1 et x — — 1,2. Elle croit assez lentement, et atteint son maximum entre x= — 2 et x— — 3.
559. Courbe transcendante. Discuter la courbe donnée par l’équation
Centre. L équation reste la même lorsqu’on change a: en —a;
v et y en — y. Donc l’origine est un
1 centre. Ce centre appartient à la courbe, puisqu’on a y = 0 pour æ = 0.
Aspect général. A toute valeur de x correspond une valeur de y, d'autant plus grande que x est plus 1 grand en valeur absolue. La courbe se compose donc de deux branches infinies, situées dans l’angle YOX et dans son opposé par le sommet. Il suffit d’ailleurs de construire l’une d’elles.
Fig. 1 53. Sens de la concavité. Dési-
gnons y par <f (x). On a
f' (*) = ~~2~ l0£ 2, <?"(!)= =— 2^— (log2)‘,
les logarithmes étant pris dans le système népérien.
<t " (*) étant positive, excepté pour x= 0, la branche OL tourne sa con cavité vers les y positifs. C’est le contraire pour la branche opposée.
Asymptotes.® variant de Oàœ, ÿ (x) varie d’une manière continue de O à ® . Donc il n’existe aucune asymptote.
Points d’inflexion. <f"(x) étant nul pour x = 0, et changeant de signe quand x passe du positif au négatif, on en conclut que l'origine est un point d’inflexion. C’est d’ailleurs une conséquence immédiate de ce que l’origine est un centre situé sur la courbe. Tangente. Le coefficient angulaire de la tangente est
logs;
à l’origine, il est égal au logarithme népérien de 2, et il croît très-rapidement avec x.
Construction par points. On trouve qu’aux valeurs de x 0, 0,5, I, 2, 2,5, 3, kt
correspondent les valeurs de y
L’ordonnée croit très-rapidement. Le terme 2~* tendant vers 0, on voit que la courbe proposée et la courbe ayant pour équation y = |2* sont asymptotes l’une de l’autre.
Exercices. Le lecteur pourra s’exercer sur les exemples suivants :
y =^rpr, y*=^-^ y* — I6y*-f 25®*— o,
QP - g ^
xy'— 2.ry + ky + x* = 0, y = e ,
